#デジタル信号の周波数解析 66

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω①

被積分関数は
#周期 π/τの #周期関数 ゆえ
#積分 区間を
{-π/τ→π/τ}から
{0→2π/τ}に変更できる.
∴
①=
(τ/2π)∫{0→2π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω

F(ω)に何を代入する？

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
9 / 22

【第８弾】#コーシーの積分定理
https://www.youtube.com/watch?...
10:17

#コーシー #積分 #複素積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#デジタル信号の周波数解析 65

#逆フーリエ変換 でなく
#逆離散時間フーリエ変換 なら
ω軸上の #積分 区間は #有限長 で済む.

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω) dω
=
f[n]=f(nτ)
↑
このDTFT^{-1}の公式で，F(ω)に
ω軸上で #標本化 した波形を代入すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 64

ℱ^{-1}(=#無限長 #区間 の #積分∫)
を
#有限長 区間の総和Σで置き換えたい.
↓
方針を思い出そう.
#ℱ ではダメだ！

▶#フーリエ変換
t : 連続● 無限範囲●
ω:連続● 無限範囲●

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散〇 無限範囲●
ω:連続● 有限長〇

#デジタル信号の周波数解析 63

ω軸上の #デジタル信号 F_d(ω)から
t軸上のデジタル信号y_{d,N}(t)を
定数倍も含め正確に復元する式
(2π/Nτ)ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t)

ℱ^{-1}は
「#無限長 #区間 の #積分∫」だが
これを
「#有限長 区間の総和Σ」で置き換えるには？

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
9 / 14

【#面積分（#ベクトル場）】～ #パラメータ表示 編～ の導出から例題まで！
https://www.youtube.com/watch?...
18:17

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
38 / 96

【微積分#38】#定積分 の定義
https://www.youtube.com/watch?...
16:33

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
8 / 22

【第７弾】#複素関数 の #積分！#複素積分 を最初からしっかりと解説します！
https://www.youtube.com/watch?...
15:53

#積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学

#デジタル信号の周波数解析 32

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)について
整理すると…

①DTFT:
#インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作

②DTFT^{-1}:
何をどう復元するか，に応じ
#積分 区間のバリエーションが3通り

③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され
①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 28

DTFT^{-1} の定義の #積分 範囲が
①{-π/τ→π/τ} #複素フーリエ級数展開
②{-∞→∞} #逆フーリエ変換
③{-π→π} ①を #規格化
の3通りある.
という事だが…

実は #信号処理 の教科書には
DTFT^{-1} どころか
#DTFT そのものが載ってなかったりする…！

#デジタル信号の周波数解析 27

#離散時間フーリエ変換
(Discrete-time Fourier transform，#DTFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･無限区間の #積分 として #逆変換 すると
通常の #フーリエ変換 の逆変換となり
#インパルス(#δ列)も復元.

・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 26

DTFT^{-1} の #積分 範囲を
{-π→π}とする流儀について:

f[n]=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω
↓
#規格化周波数 を
τω＝ω'とおいてみると

f[n]＝
(1/2π) ∫{-π→π} F(ω'/τ) e^( jnω' ) dω’

#デジタル信号の周波数解析 25

DTFT^{-1} の式を見た時…

①積分範囲が{-π/τ→π/τ}でなく
②積分範囲が{-∞→∞}でもなく
③積分範囲が{-π→π}となっている場合がある.
↑
③は
#積分 範囲を調整し計算しやすくした
「#規格化周波数」という軸で考えた場合の式.
混乱に気を付けて！

#デジタル信号の周波数解析 24

DTFT^{-1} の式を見た時…

①#積分 範囲が{-π/τ→π/τ}なら
「#δ列 ではなく，
#δ関数 のかかっていない1個の信号値を
復元しているんだな」とわかる.

②積分範囲が{-∞→∞}なら
「ここでは DTFT^{-1} を
ℱ^{-1} と定義しているんだな」とわかる.

#デジタル信号の周波数解析 23

DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が…

①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら:
#DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし
複素フーリエ級数の展開係数の公式で
DTFT^{-1}を定義.

②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら:
それは単なる #逆フーリエ変換.

#デジタル信号の周波数解析 22

DTFT^{-1}の #積分 区間が:

①ω軸上1 #周期 なら
信号「値」1つを復元
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω)dω
=f[n]=f(nτ)

②{-∞→∞}なら
「#δ列 としての #デジタル信号」を復元
∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dt
=
Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 17

▶#フーリエ変換
#FT＝ℱ
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆フーリエ変換
FT^{-1}＝ ℱ^{-1}
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#離散時間フーリエ変換
#DTFT
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
DTFT^{-1}
#積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号の周波数解析 16

f(nτ)=f[n]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ②
e^(jnτω)
･
∫{-∞→∞} dt[ ①
Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt)
]
}

①#DTFT は
#積分 区間が{-∞→∞}だが
②DTFT^{-1}は
積分区間が有限範囲で済んでいる.

これは #フーリエ変換 には無い性質！

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
8 / 14

【#面積分（#スカラー場）】導出から例題まで！
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26:53

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学

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みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
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【#面積分（#スカラー場）】～ #パラメータ表示 編～ 導出から例題まで！
https://www.youtube.com/watch?...
15:21

#積分
#数学 #大学数学 #物理数学