#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
80

#群論：有限 #位数 の #行列
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#巡回群とは 35

①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し
a^i=eとなる最小の自然数iを
生成元aの #位数 と呼ぶ.

②任意の #群 Gの
任意の元xは，
xを生成元とする
#巡回部分群‹x›を生み出せて，
①より‹x›は位数をもつ.
↓
任意の群Gの
任意の元xは
それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.

#巡回群とは 19

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1) Gにおける -1 の #位数 は？
(2) Gにおける 1 の位数は？

A.
(1)
(-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので
ord(-1)＝2.

(2)
1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので
ord(1)＝1.

#巡回群とは 18

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1)#群 G の #位数 は？
(2) i の位数は？

A.
(1)
#有限群 で要素数が4なので
|G|＝4

(2)
iはGの生成元だから
ord(i)＝|G|＝4.
またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので
やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17

Q.
次の数を #生成元 として
乗法に基づいた #巡回群 を作り
その #位数 を求めよ

(1) 虚数単位 i
(2) -1

A.

(1)
‹ i › ＝ {
i,
i^2＝-1,
i^3＝-i,
i^4＝1
}
＝{ i, -1, -i, 1 }
位数は4.

(2)
‹ -1 › ＝ {
-1,
(-1)^2＝1
}
＝{ -1, 1 }
位数は2.

#巡回群とは 15

#群 の #位数(order)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の位数はその濃度，すなわち，
その集合に入っている元の個数.
ord(G) や |G| で表記.

・群の元 a の位数は
a^m = e であるような最小の正の整数m.
ord(a) や |a| で表記.

#巡回群とは 14

Q.
(1) #群 G の位数
(2) #巡回群 G の #生成元 a の位数
↑
どちらも #位数 と呼ぶので
紛らわしくないか？

A.
確かに同じ用語であるが，
群 G が巡回群である場合
(1)の「群の位数」と
(2)の「元の位数」で
値が一致するため，紛らわしくはない.

#巡回群とは 13

Q.
#巡回群 G＝‹a›において
nはa^n=eをみたす最小の自然数とする.
#群 Gの #位数 がnである事を示せ.

A.
n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく.
前ツイの議論より
Sの元は全て異なる.

m≧nの時
m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと
a^m
=a^{qn+r}
=((a^n)^q)・(a^r)
=a^r ∈ S

#巡回群とは 11

Q.
前ツイの「r-s=0」がよくわからない

A.
a^0＝eより
a^m＝eを満たす整数mにはm=0がある.
しかし0という値は
#群 の #位数 や元の位数としての情報を持っていない.
だから位数nは0を除外しn＞0の範囲で探す.
そしてn＞m≧0なる範囲でのa^m＝eの解は
m＝0のみというわけ.

#巡回群とは 9

①「#群 G の 位数 |G| 」
②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」
という
2種類の「#位数」の定義を学んだ.

①と②の間に
関連はあるのだろうか？

実は，巡回群が #有限群 の場合
②の値が n ならば
①の値も n である.

次ツイからその事を証明してゆこう.

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#巡回群とは 7

Q.
#巡回群 G の
#生成元 が a であるとき，
a の #位数 とは.

A.
G が #有限群 の場合，
e を #単位元 とし
a^m ＝ e を満たす
最小の自然数 m が存在し
その m を
「元 a の位数」と呼ぶ.

#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

#群論の知識

#シローの定理 (Sylow theorems)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

その1:
「#有限群 G の #位数 が
素因数 p を重複度 n で約数として持てば，
位数 p^n の G のシロー p-部分群が存在する.」

これは #コーシーの定理 よりも強い.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
58

#群論：#位数 2の #正規部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」とは.

A.
#群 G の #部分群 が
下記の条件を満たせば
「シロー p-部分群」
(Sylow p-subgroup).

① p-群である.
(任意の元の #位数 が素数 p のべき)

② G の他のどんな p-部分群 の
#真部分群 でもない.

つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

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龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
50

#群論：#位数 17の #正規部分群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#群論の知識

(#群論 の) #コーシーの定理
Cauchy's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#有限群 G の #位数 |G| が
素数 p の倍数であれば，
G は #位数 p の元を含む.」

1845年に #コーシー が証明.

#群論の知識

▶p-群 (p-group)
任意の元の #位数 が「素数 p のべき」である.

▶基本アーベル p-群
(elementary abelian p-group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・任意の非自明な元の位数が「素数 p」 である.
・基本アーベル群，初等アーベル群とも呼ぶ.