＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 150
↑
このタグの復習…

▶#静電場 を #微分方程式 で表す
#クーロンの法則 と #電気力線
#ガウスの定理 と #ガウスの法則

▶#静磁場 を微分方程式で表す
#アンペールの法則
#ストークスの定理

▶静電磁場の #マクスウェル方程式

全部思い出せますか。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 149

Q.
この連ツイ，続きは
#静電磁場 の具体的な計算？
時間変化のある #電磁場？

A.
ごめんまだ未定である。
ここまで #ベクトル解析＋静電磁場で
2百ツイート以上。
作るの結構大変だったのでいったん休んで，また時間ある時に続き作ります。乞うご期待

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 148

Q.
#ビオ・サバールの法則 とか
#鏡像法 とか…
まだやってなくない?

A.
それらは
#静電磁場 の #マクスウェル方程式 を
「解く」際に計算で役立つ。

静電磁場のマクスウェル方程式を
「導出」する上での
ミニマムなカリキュラムには出てこない。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 147

Q.
#磁場 を語る際に
#電磁誘導(#ファラデーの法則)は
欠かせないはずだが
#静電磁場 の #マクスウェル方程式 に出てこない

A.
#電場 が基本的に渦を作らない
という性質は重要。

その法則を破り，渦を生じるのが電磁誘導…
という順序で学ぼう。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 146

Q.
#静電ポテンシャル U
#磁場 の #ベクトルポテンシャル↑A
↑
#マクスウェル方程式 を"導出"する上で不要?

A.
その2つが役立つのは
マクスウェル方程式を"変形"し
#ラプラス方程式 や
#ポアソン方程式(数学的に解きやすい #微分方程式)にする時。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 145

Q.
このタグで，あえて
「#静電磁場」に的を絞って
#マクスウェル方程式 の導出の連ツイを
してきた理由は？

A.
静電磁場は時間変化せず
時間tが現れない。

「変数の数」が少ないおかげで
数式がシンプルで短くなり
方程式を記憶＆理解しやすい。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 144

ここまでで，#静電磁場 の
#マクスウェル方程式 を
ほぼ最速で導出した。

静電磁場。それは，
止まっている #点電荷 or #電荷分布 と
#定電流 だけが存在する世界。

#電場 も #磁場 も，時間変化しない。
とても静かな世界だ…。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 143

「自然現象の観察事実をもとに
場の方程式を作る，科学的な手順」

①巨視的スケールで法則を立式
②積分形にする
③ベクトル解析の定理で #微分演算子 を含む式に変形
④微小領域で考え #微分方程式 にする

…という4ステップ。
分かりましたね！

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 142

#磁束保存の法則:

巨視的スケールで法則を立式
「#磁気単極子(#単磁荷)は存在しない」
↓
積分形に
∬_S (↑B・↑n) dS＝0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∭_V div↑B dV＝0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
div↑B＝0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 141

#静電場 の #渦無し の法則:

巨視的スケールで法則を立式
W(#仕事)=0
↓
積分形に
∲_C ↑F・d↑s=∲_C q↑E・d↑s=0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
q∬_S (rot ↑E)・↑n dS=0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
rot↑E=↑0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 140

#アンペールの法則:

巨視的スケールで法則を立式
2πrH＝Ｉ
↓
積分形に
∲_{∂S} ↑H・d↑s ＝Ｉ
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∬_S (rot ↑H)・↑n dS ＝ ∬_S ↑j・↑n dS
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
rot ↑H＝↑j

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 139

#ガウスの法則:

巨視的スケールで法則を立式
F ＝ k･q_1 q_2/r^2
↓
積分形に
∬_∂V (↑E・↑n)dS＝q/ε_0
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
∭_V(r) (div↑E)dV＝q/ε_0
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に
div ↑E ＝ ρ / ε_0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 138

#マクスウェル方程式 の4式とも
導出アプローチが共通

人間が観察できる
巨視的スケールで法則を立式
↓
積分形に.
円周上の #周回積分 か
球面上の #面積分
↓
ベクトル解析の定理で
#微分演算子 を含む式に変形
↓
微小領域で考え
#微分方程式 に

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 137

Q.
#静電磁場 の #マクスウェル方程式
div ↑E ＝ ρ / ε_0
rot ↑B ＝ μ_0 ↑j
rot ↑E ＝ ↑0
div ↑B ＝ 0

定数係数を含まない形にせよ

A.
↑D ＝ ε_0 ↑E
↑B ＝ μ_0 ↑H
より
div ↑D ＝ ρ
rot ↑H ＝ ↑j
rot ↑E ＝ ↑0
div ↑B ＝ 0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 136

#静電磁場 の #マクスウェル方程式
(各変数に引数を明記)

div ↑E(x,y,z) ＝ ρ(x,y,z) / ε_0
rot ↑B(x,y,z) ＝ μ_0 ↑j(x,y,z)
rot ↑E(x,y,z) ＝ ↑0
div ↑B(x,y,z) ＝ 0

時間変化が無いので
時間tは引数にならない。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 135

Q.
#静電磁場 の #マクスウェル方程式
div↑E＝ρ/ε_0
rot↑B＝μ_0 ↑j
rot↑E＝↑0
div↑B＝0
各変数に「引数」があるのでは?

A.
ε_0とμ_0は定数
↑E(x,y,z)
↑B(x,y,z)
ρ(x,y,z)
↑j(x,y,z)
静電磁場は時間変化が無いので
時間tは引数にならない。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 134

#静電磁場 の #マクスウェル方程式：
①div↑E＝ρ/ε_0
②rot↑B＝μ_0 ↑j
③rot↑E＝↑0
④div↑B＝0

↑Eと↑Bで
・「生み出す源」が①ρと②↑jで異なる
・「生み出され方」が①divと②rotで異なる
・「ゼロになる条件」も③rotと④divで異なる

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 133

Q.
#真空 中で時間変化がない
#マクスウェル方程式 の4つの式を
↑E と ↑B で名前付きで書け

A.
div↑E＝ρ/ε_0 #ガウスの法則(#クーロンの法則)
rot↑B＝μ_0 ↑j #アンペールの法則
rot↑E＝↑0 #静電場 の #渦無し 則
div↑B＝0 #磁束保存の法則

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 132

Q.
#マクスウェル方程式 とは
一言でいうと何？
(1) 物理的には
(2) 数学的には

A.
(1)
古典 #電磁気学 の基礎方程式。

(2)
4つの連立 #偏微分方程式。

マクスウェルの方程式 (Maxwell's equations)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 131

#静電場 ↑E(x,y,z)に対し
#渦無し の法則
rot ↑E ＝ ↑0

#静磁場 の #磁束密度 ↑B(x,y,z) に対し
#磁束保存の法則
div ↑B ＝ 0

上記2つの #微分方程式 を確認できました。

では遂に，4つの式をまとめて
#マクスウェル方程式 にしましょう！