#群論の初歩 71

特殊線型群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #特殊線形群 の元は「特殊」で，
ある多項式detが定める
#一般線形群 GLの部分代数多様体.

・特殊線型群 SL(n, R) は
R_nにおける「体積を保つ #線型変換」のなす #群.
線型変換の #行列式 が
体積の変化を測ると解釈できる.

#群論の初歩 70

Q.
SL( n, V ) とは

A.
#特殊線形群(Special Linear group)を表す.

#行列式 が1であるような
#正則 な
n 次元正方行列全体の集合である.

SL( n, V ) ＝ { A ∈ GL( n, V ) | det A＝1}

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#群論の初歩 68

Q.
ℤ 整数全体の集合
ℚ 有理数全体の集合
ℝ 実数全体の集合
ℂ 複素数全体の集合

この4つの集合について
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
これら4つはいずれも #アーベル群 となる.

部分群の関係を G≥H のように表記すると
ℤ≤ℚ≤ℝ≤ℂ

#群論の初歩 67

Q.
「#真部分群」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと，
自然数の
「1と自分自身を除く約数」に似ている.

素数pは
1と自分自身pでしか割り切れない.

真部分群をもつ群Gは
合成数のようなもので，
#単位群{e}と自分自身G以外に
(自明でない)部分群を持つ.

#群論の初歩 66

Q.
「自明でない #部分群 を持たない」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと
素数に似ている.

素数pは
1と
自分自身pでしか割り切れない。
(自明な約数しか持たない)

群Gも，
#単位群{e}と
自分自身Gという
自明な部分群しか持たない場合がある.

#群論の初歩 65

部分群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・部分群と拡大群:
H が G の #部分群 である時，
G は H の #拡大群 である
と表現する場合がある.

・記号の表記法:
H ≤ G
"H is a subgroup of G".

・G の #真部分群 とは
部分群 H が G の
真部分集合(H≠G）であることを指す.

#群論の初歩 64

Q.
#真部分群 とは

A.
#自明な部分群 を除いた #部分群 を
真部分群(proper subgroup)と呼ぶ.

#群 Gの部分群としては
Gそのものと{e}を含むが，
群Gの真部分群には
Gそのものを含まない.

※ {e}は，定義によって
群Gの真部分群に含めない場合も
含める場合もある.

#群論の初歩 63

Q.
#自明な部分群 とは

A.
#群 Gの部分集合のうち
下記の２つを
Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ.

(1)
群Gそのもの

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが
1)∀a,b∈H⇒ab∈H
2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H
の時
Hが群である事を示せ.

A.
1)よりHの二項演算は #閉じている.
Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす.
2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在.
∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61

Q.
#群 Gと同じ #二項演算 を持つ
Gの部分集合Hが
1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H
2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H
ならば
Hに #単位元 が存在する事を示せ

A.
Hの元は全てGの元なので
aa^{-1} はGの単位元eであり
(1)より aa^{-1}＝e はHの元.
GとHで二項演算が同じなので
eはHの単位元.

#群論の初歩 60

Q.
#群 G の部分集合 H が
Gの #部分群 となるために
H が満たすべき2条件

A.
(1) H の任意の2元 a, b に対し
ab は H の元.
(Gと同じ #二項演算 が
部分群の内部で #閉じている)

(2) H の任意の元 a に対し
その逆元a^{-1}は H の元.
(部分群の内部で
#逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 59

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

素数全体
ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℙの2元 a, b に対し
a＋b ∈ℙは常に成立せず
二項演算が閉じていないので
ℙは #群 ではない.
よってℙはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 58

Q.
整数全体
ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

自然数全体
ℕ＝{1, 2, 3, …}

#二項演算 として和を考えると
#部分群 の関係は有るか？

A.
ℤ上で #単位元 は0.
任意の元に対し #逆元 が存在.
ℤは #群.

ℕには単位元も逆元も無く群でない.
よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57

Q.
整数全体の集合
ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

偶数全体の集合
2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … }

と表記するとき
#部分群 の関係を作れ.

A.
#二項演算 として和を考えると
ℤも 2ℤ も各々 #群 である.

2ℤ はℤの部分集合だから，
2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56

Q.
#部分群 とは何か説明

A.
#群 G の部分集合Hをとり，
Gの #二項演算 によって
Hが群になるとき，
HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ.

もとの集合の
「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」
というわけ.

この時，GとHで
単位元や逆元は共通となる.

#群論の初歩 55

Q.
n次 #正則行列 全体GL(n)は
#行列 の和について #群 か?

A.
加法の #単位元 は #零行列 Oで
#正則 ではない.
GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので
群ではない.

またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが
A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ
#二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 54

Q.
(1)
n 次 #正方行列 全体の集合Mは
加法について #群 をなす.

(2)
n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は
行列の積について群(#一般線形群)をなす.

(1)(2)は各々,可換群か?

A.
(1)の加法は可換ゆえ
#アーベル群 および #加法群.

(2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 53

一般線形群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・n 次正方行列全体のうち
「#正則行列 全体が
行列の積に関してなす群」を
#一般線形群 という.
GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す.

・ #行列式 がゼロでない #行列 全体
と言い換えてもよい.

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.