#群論の知識

(#群論 の) #コーシーの定理
Cauchy's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#有限群 G の #位数 |G| が
素数 p の倍数であれば，
G は #位数 p の元を含む.」

1845年に #コーシー が証明.

#群論の知識

p-群 (p-group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・p-準素群(p-primary group)とも.

・任意の元の #位数 が
素数 p のべきになっている.

・ #群 の構造を理解するための
基本的な道具の1つ.

・「ほとんどすべての #有限群 が 2-群である」
という都市伝説的な予想がある.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

前書きより:
『5章までで議論する
#有限群 とは，
ある #図形 を
･#有限角度 の #回転
･#鏡映
などの #操作 により
それ自身に #重ねる 手続き間の
#関係 を理解するものであり
#視覚的 に理解しやすい。
後の #連続群 の理解の基礎にも…』

#群論の初歩 24

Q.
#単位群 とは.

A.
ただ1つの元として
#単位元 e を持つような集合
{ e }
は，
#位数 が 1 の #有限群 であり
単位群と呼ぶ.

例:
・ #二項演算 として実数の積
・単位元として実数 1
を考えれば
{ 1 } という集合は単位群である.

#群論の初歩 23

Q.
#群論 において
有限群，無限群，位数とは.

A.
有限個の元からなる #群 G を
#有限群 と呼ぶ.

有限群 G の元の個数を
有限群 G の #位数 と呼び
|G| と表記する.

無限個の元からなる群 G を
#無限群 と呼ぶ.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
20

#群論：#有限群 の過半数の要素を含む #部分集合 について
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
10

#群論：総ての #真部分群 を包む真部分群を持つ #有限群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#代数学の参考書＞

「群とその表現」(共立出版1967服部)

前書きより引用:
「#19世紀 末に
#Frobenius によって
#有限群 の #表現論 が
創始されて以来，
#Lie群 や
一般の #位相群 の
表現論などもあいついで開拓され…
数学の諸分野と密接に結びついて
大きな位置を占めている。」

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
2

#群論：#シロー部分群 は存在します!
https://www.youtube.com/watch?...

#部分群 #有限群
#代数 #代数学

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「物理のためのリー群とリー代数」(2008)

前書きより
『#近頃 の #理論物理学 系の
#大学院学生 は
ずっと幅広い #数学的素養 を
求められる場合が増えてきた.
それは #連続群 に
関係する部分が多い.
物性論や化学への
#有限群 の応用は他の書物で…』

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
660

#群論：#原始的有限群 の特徴づけ
https://www.youtube.com/watch?...

#有限群
#代数 #代数学

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「物理のためのリー群とリー代数」(2008窪田)

前書きより:
『大阪大学 理学部 物理学科での
#群論 の #物理学 への #応用 を
主題とした講義のノートを
#有限群 に関係する部分を圧縮しつつ
#連続群 に関係する部分を膨張させて
でき上がったのが本書.』