#群論の初歩 41

#加法群 (英 additive group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ 群演算を，ある意味で
加法と考えることのできる #群.

・通常は #アーベル群.

・ #二項演算 を
記号 + を使って書くのが一般的.

※乗法群 (multiplicative group) というのも存在する

#群論の初歩 39

Q.
#加法群 とは.

A.
「#アーベル群 の演算を
加法(＋)の形で表記したもの」を
一般に加法群と呼ぶ.

加法群の #単位元 を
#零元 と呼び，
通常は 0 と書く.

加法群の元 a の #逆元 を -a と書く.
a＋(-b) を a-b と書く.

※ "#加群" とは別物なので区別すること.

#群論の初歩 38

Q.
#群 Gの任意の元 x に対し
x^2 = e
ならば，
Gは #アーベル群 である事を示せ.

A.
x^2 = e
両辺に右から x^{-1} をかけて
x (x x^{-1}) = x^{-1}
x＝x^{-1}

よって，Gの任意の2元に対し
ab
＝(ab)
＝(ab)^(-1)
＝b^(-1) a^(-1)
＝ba
#交換法則 が成り立ちアーベル群.

#群論の初歩 37

Q.
0を除く有理数の集合 ℚ^* から
#アーベル群 G を構成せよ

A.
演算として乗法(掛け算)を用いる.
#単位元 として 1 を用いる.
元 x の #逆元 は 1/x .

演算の #結合法則
単位元の存在
逆元の存在
を満たすのでGは #群.

また #交換法則 を満たすので
Gはアーベル群.

#群論の初歩 36

#アーベル群(abelian group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #可換群(commutative group).

・抽象代数学の各種概念で基礎となる
加法に関する群(#加法群)として
しばしば生じる.

・任意のアーベル群を表記する際
しばしば加法的な記法(+)を使う.

#群論の初歩 35

Q.
#アーベル群 とは

A.
#群 Gは
・ #結合法則
・ #単位元 の存在
・ #逆元 の存在
という群の3公理を満たすが

それに加え4つ目の条件として
・ #交換法則
を満たす場合，
Gを「アーベル群(#可換群)」と呼ぶ.

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#代数学の知識

#ブラウアー群(Brauer group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 K のブラウアー群 Br(K) は
体 K 上の #中心的単純環 の
#森田同値類(#多元環類，ブラウアー類)
を元とする #アーベル群 で
その演算は #多元環 の #テンソル積 から誘導される.

#加群の知識

#群 上の #加群 (G-module)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#アーベル群 M であって
Mの群構造と #両立 するGの #作用 を持つもの」
の事を，
群G上の加群 (module over G) または
G-加群 (G-module) という.