#群論の初歩 18

Q.
群 G のある2つの元 x, y について，
xy が #単位元 に等しければ
x ＝ y^{-1} かつ
y ＝ x^{-1} として
相互に #逆元 の関係が成り立つ事を示せ.

A.
xy ＝ e
両辺に左から x^{-1} をかけ
(x^{-1} x) y ＝ x^{-1} e
ey ＝ x^{-1}
y ＝ x^{-1}
y^{-1} も同様.

#群論の初歩 16

Q.
#群 G に対して
(1) #単位元 の存在
(2) #逆元 の存在
それぞれ論理記号で表記してみよう.

A.
(1)
∃e∈G s.t. (∀g∈G，ge＝eg＝g)
(2)
∀g∈G，∃h∈G s.t. hg＝gh＝e

↑
∀(すべての)と
∃(そんざい)の記号を置く場所が
(1)と(2)で異なる点に注意.

#群論の初歩 15

Q.
#群 の公理で

(1) #単位元 の存在:
群Gの任意の元xに対し
xe＝ex＝x なる e が存在

(2) #逆元 の存在:
群Gの各元xに対し
xx'＝x'x＝e なる x' が存在

↑
微妙に言葉遣いが違うのはなぜ?

A.
単位元eは任意の要素に対しG内に1つだが
逆元は各要素に対し1つずつ存在

#群論の初歩 14

#逆元(inverse element)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

抽象代数学において，数の…
・加法に対する反数(正の数に対する負数)や
・乗法に関する逆数
の概念の一般化.

直観的には，
与えられた元に結合して
その効果を「打ち消す」効果を持つ元のこと.

#群論の初歩 13

Q.
群において，
#逆元 の一意性を示せ.

A.
a の逆元が2つあり x と x' だとする.
逆元の定義より
e ＝ ax'　かつ
e ＝ xa

ここで
x
＝xe
＝x(ax')
＝(xa)x'
＝ex'
＝x'

よって逆元は各々ただ一つ.

※逆元の定義に #単位元 が出てくるところがポイント.

#群論の初歩 12

Q.
#群 の公理の
「#逆元 の存在」を説明せよ

A.
群Gの各元xに対し
x x^(-1) = x^(-1) x = e
を満たす元 x^(-1) が存在し
x^(-1) を x の逆元と呼ぶ.

これは
「ある操作には必ず
その操作を元に戻す"逆操作"がある」
ということ.

群の世界では「覆水盆に返る」.

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#体論の初歩 1

Q.
#群，#環，#体 の3つのうち
「#対称性」を考える上で
最も有用なのはどれか

A.
環と体は2種類の #二項演算 をたばねた構造で
「#逆元 が存在しない場合」という例外あり.

一方，群はシンプルで
1種類の二項演算のみを扱い
どの要素も確実に逆元の存在が保証されている.