#巡回群とは 22

Q.
1の「#原始n乗根」とは.

A.
「1のn乗根がつくる #巡回群」の
#生成元 となれる数のこと.

1の原始冪根
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1のn乗根のうち「n乗して初めて1になるもの」のこと.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.

#巡回群とは 19

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1) Gにおける -1 の #位数 は？
(2) Gにおける 1 の位数は？

A.
(1)
(-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので
ord(-1)＝2.

(2)
1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので
ord(1)＝1.

#巡回群とは 18

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1)#群 G の #位数 は？
(2) i の位数は？

A.
(1)
#有限群 で要素数が4なので
|G|＝4

(2)
iはGの生成元だから
ord(i)＝|G|＝4.
またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので
やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17

Q.
次の数を #生成元 として
乗法に基づいた #巡回群 を作り
その #位数 を求めよ

(1) 虚数単位 i
(2) -1

A.

(1)
‹ i › ＝ {
i,
i^2＝-1,
i^3＝-i,
i^4＝1
}
＝{ i, -1, -i, 1 }
位数は4.

(2)
‹ -1 › ＝ {
-1,
(-1)^2＝1
}
＝{ -1, 1 }
位数は2.

#巡回群とは 16

Q.
#巡回群 G＝‹a›において
「nはa^n＝eをみたす最小の自然数」…①
とする.
a^k=e …②
ならば
kはnの倍数である事を示せ.

A.
k=qn＋r (0≦r＜n)…③
とおくと
②より
a^k
=a^{qn+r}
=((a^n)^q)・(a^r)
=a^r=e
①より「r＞nまたはr=0」.
③よりr=0.
→k＝qn
∴kはnの倍数

#巡回群とは 14

Q.
(1) #群 G の位数
(2) #巡回群 G の #生成元 a の位数
↑
どちらも #位数 と呼ぶので
紛らわしくないか？

A.
確かに同じ用語であるが，
群 G が巡回群である場合
(1)の「群の位数」と
(2)の「元の位数」で
値が一致するため，紛らわしくはない.

＜#代数学の参考書＞

「復刊　有限群論」(1970伊藤)

書評より:
『2章では
#Frobenius部分群 に関する
#Burnsideの結果
(基本定理Ⅱ)からはじまって，
Frobenius部分群の
p-シロー群は
#巡回群 か #四元数群 になること，
これと関連して
#シロー群 が
すべて巡回群となる
#群 の構造…』

#巡回群とは 13

Q.
#巡回群 G＝‹a›において
nはa^n=eをみたす最小の自然数とする.
#群 Gの #位数 がnである事を示せ.

A.
n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく.
前ツイの議論より
Sの元は全て異なる.

m≧nの時
m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと
a^m
=a^{qn+r}
=((a^n)^q)・(a^r)
=a^r ∈ S

#巡回群とは 12

Q.
#巡回群 G＝‹ a ›で
a^n＝eをみたす最小の自然数nについて，
n個の各元 a^i (n＞i≧0)が
全て異なる事を示せ.

A.
前ツイより
n＞r≧s≧0 の条件下で
「a^r＝a^s ならば r＝s」.
対偶をとり，
「r≠s ならば a^r≠a^s」.
よって
n個の元 a^i (n＞i≧0) は全て異なる.

#巡回群とは 10

Q.
#巡回群 G＝‹ a ›において
「nはa^n＝eをみたす最小の自然数」…①
とする.

n＞r≧s≧0かつ
a^r＝a^s …②
ならば，
r＝sである事を示せ.

A.
②の両辺に a^{-s} をかけ
a^{r-s} ＝ e
ここで n＞r-s≧0 と①より
r-s は自然数ではないので，
r-s ＝ 0
∴r＝s

#巡回群とは 9

①「#群 G の 位数 |G| 」
②「#巡回群 ‹a› の #生成元 a の位数」
という
2種類の「#位数」の定義を学んだ.

①と②の間に
関連はあるのだろうか？

実は，巡回群が #有限群 の場合
②の値が n ならば
①の値も n である.

次ツイからその事を証明してゆこう.

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#巡回群とは 7

Q.
#巡回群 G の
#生成元 が a であるとき，
a の #位数 とは.

A.
G が #有限群 の場合，
e を #単位元 とし
a^m ＝ e を満たす
最小の自然数 m が存在し
その m を
「元 a の位数」と呼ぶ.

#巡回群とは 6

Q.
#巡回群 は
#アーベル群 である事を示せ.

A.
#群 Gが
aを #生成元 とする巡回群 ‹ a › ならば
Gの任意の2元x,yは
x＝a^m
y＝a^n
という #べき の形である.(m,n∈ℤ)
xy＝(a^m)(a^n)＝a^{m+n}
yx＝(a^n)(a^m)＝a^{n+m}＝a^{m+n}＝xy
なので，#交換法則 が成り立つ.

#巡回群とは 5

Q.
#巡回群 G の
#生成元 a を考えるメリットは？

A.
G ＝ ‹ a ›
のように表記すれば，
#群 Gの全ての要素をいちいち列挙しなくて済み
面倒が省ける.

群がもつ全要素の情報を
aというただ1つの元だけで表せる.

群の本質的な情報を
簡潔に手短に言い表せる，ということ.

#巡回群とは 4

#巡回群(cyclic group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ただ1つの元で生成される #群.
#生成 とは，群のどの元も
#生成元 の整数 #べき で書けるという事.

・単項生成群(monogenous group)とも.

・生成元(generator) のことを
原始元(primitive) とも呼ぶ.

#巡回群とは 3

Q.
#巡回群 とは.

A.
#群 G の
ある1つの元を a として，
G のすべての元が
a の #べき である( a^n に等しい)とき，
G ＝ ‹ a ›
と書き
G は「a を #生成元 とする巡回群」であるという.

#巡回群とは 1
↑
このタグでは
#群論の初歩 の内容を前提に
下記を学びますぞ！

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積