＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」(2000)

p9より:
『#第一積分 が
#固有写像 ならば
#連結成分 は
#Liouvilleトーラス であり，
(φ_1,…,φ_n)は
#2π を #法 とする
#座標 とみなせる.
#角変数 と呼ぶのはこの理由による.
#相補的 な #変数 である
#作用変数 の存在…』

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」
(共立出版2000Audin)

序章より:
『#完全可積分系 とは
許される最大個数の #第一積分 をもつ
#Hamilton系。
より正確には
#シンプレクティック多様体 で
定義するのが最も簡単だが
ほぼ全ての例の自然な舞台は
#Poisson多様体 で…』

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学―可積分系講義」
(共立出版2000Audin)

序文より:
『#可積分系 は
20世紀最後の20年余りの間に
#数学 とその関連諸科学において
きわめて重要な位置を
占めるに至った概念である。
#Liouville の可積分系の概念の鍵は
「#保存量(#第一積分)」にある。』

#解析力学_保存量と対称性編 19

Q.
#ネーターの定理 と
#第一積分 との関係

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ネーターの定理によれば
「#ラグランジュ形式 または
#ハミルトン形式 の物理系に関し，
系の1つの連続的な #対称性 に付随して
1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18

Q.
#ハミルトン力学 の
完全積分可能条件である
リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理)
誰が発見?

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1853年リウヴィル:
「系の自由度に等しい数の
#第一積分 が存在すれば求積可能」

1963年アーノルド:
幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 16

Q.
リウヴィル=アーノルドの定理とは.

A.
Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

独立な #第一積分 の組が
#包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能.

#正準変数 として #作用・角変数 を取れて
#相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15

Q.
#包合系 とは

A.
involution system
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
自由度nの #ハミルトン力学系 に
n個の独立な #第一積分(#保存量)
F_1, ..., F_n が存在し
それらの #ポアソン括弧 が #可換
{ F_i, F_j }＝0
である時
これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 6

Q.
#循環座標 は常に存在し
#保存量(#第一積分)を導出することが常に可能?

A.
座標系の取り方に依存するので
循環座標は常に存在するとは限らない.

しかし #時空 の #対称性 により
①#エネルギー
②#運動量
③#角運動量
の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 4

Q.
#循環座標 q_c が存在する時
#保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか

A.
n自由度で
#ラグランジュ方程式
∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i)
をn個立式する際
c番目の式は
左辺∂L/∂q_c = 0より
右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で
∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(講談社2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 においては
ある #運動の定数
(#運動の積分，#保存量，#第一積分)
が存在する場合，
#一般化座標 q と
#一般化運動量 p の
ある組み合わせが
時間的に一定な
#定数 となる事を意味する.』

#解析力学_保存量と対称性編 2

Q.
#循環座標 とは.

A.
循環座標 (cyclic coordinates)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L が
関数として陽に依存しない
一般座標変数 q_i のこと.

もし循環座標が存在する場合，
それに対応する共役運動量 p_i は
系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1

Q.
「#運動の積分」とは

A.
integral of motion
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#古典力学 において
系の時間発展に際し
時間変化しない物理量のことを指す.

別名:
・ #保存量 (conserved quantity)
・ #第一積分 (first integral)
・運動の定数 (constant of motion)