＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」(コロナ社2018有本)

p126より:
『#一般化座標 の
ある #座標成分 q_i が
#ハミルトニアン ℋ に
#陽に 入っていない場合，
∂ℋ / ∂q_i ＝ 0 となるので
p_i ＝ const. となるが
このような座標成分を
#循環座標(cyclic coordinate)という.』

#解析力学_保存量と対称性編 6

Q.
#循環座標 は常に存在し
#保存量(#第一積分)を導出することが常に可能?

A.
座標系の取り方に依存するので
循環座標は常に存在するとは限らない.

しかし #時空 の #対称性 により
①#エネルギー
②#運動量
③#角運動量
の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5

Q.
#循環座標(cyclic coordinates)って
なぜ「循環」というネーミングなのか

A.
#対称性 が有って
#保存則 を生み出す意だろう.

極座標でθが循環座標なら
角度変化の対称性があり
円周上を回って循環・巡回するイメージ.

#群論 では
cyclic group=「#巡回群」.

#解析力学_保存量と対称性編 4

Q.
#循環座標 q_c が存在する時
#保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか

A.
n自由度で
#ラグランジュ方程式
∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i)
をn個立式する際
c番目の式は
左辺∂L/∂q_c = 0より
右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で
∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 3

Q.
n自由度の系で
#循環座標 q_iが存在する時
#ラグランジアン Lはどんな形か

A.
一般にLはq,q̇,tの関数で
L(
q_1, q_2, …, q_n,
q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

Lは循環座標q_iに依存しないので
L(
q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n,
q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2

Q.
#循環座標 とは.

A.
循環座標 (cyclic coordinates)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L が
関数として陽に依存しない
一般座標変数 q_i のこと.

もし循環座標が存在する場合，
それに対応する共役運動量 p_i は
系の #保存量(#第一積分)となる.