#フーリエ変換の性質や諸公式 1
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このタグでは下記の事項を学びます。

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

#デジタル信号とサンプリング 29

rect(ω / (Ω/2))の
ω軸上 #フーリエ変換:
(※rectは-1から1まで値を持つ)

面積1の #矩形関数 のフーリエ変換は
#sinc関数 なので
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t

#縮尺 変換の公式より
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#フーリエ変換の性質や諸公式 50
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このタグの復習…

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 49

まとめ②

#微積分
ℱ[ (d/dt) f(t) ] ＝ jω F(ω)
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ] ＝ { (jω)^n } F(ω)
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ] ＝ (1 / jω) F(ω)

#時間シフト
ℱ[ f( t－t_0 ) ] ＝ e^(－jω t_0) F(ω)

#縮尺 変更
ℱ[ f( at ) ] ＝ (1 / |a|) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 47

「#縮尺 変更の性質」の証明:

ℱ[ f( at ) ]
=
∫{-∞→∞} f(at) e^(－jωt) dt
=
∫{-∞→∞} f(at) e^( －j･{ω/a}･{at} ) dt
ここで at=τ とおくと t=τ/aで
=
(1/a) ∫{-∞→∞} f(τ) e^( －j･{ω/a}･τ ) dt
=
(1/a) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

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#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 1
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･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
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2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換