#群論の初歩 32

Q.
#交換法則 を満たさないが
#結合法則 を満たすような
#二項演算 の例として
行列の積がある.

では逆に
交換法則を満たすが
結合法則を満たさない二項演算の例は?

A.
二項演算を a⊕b ＝ |a－b| と定めれば
|a－b| ＝ |b－a| かつ
一般に||a－b|－c| ≠ |a－|b－c||

#群論の初歩 31

Q.
下記の #二項演算 は
#交換法則 と
#結合法則 を満たすか?

(1)実数の乗法
(2)実数の減法
(3)実数のべき乗
(4)#行列 の積

A.
(1) 交換法則も結合法則も満たす
(2)(3) 交換法則も結合法則も満たさない
(4) 交換法則を満たさないが結合法則を満たす

#群論の初歩 30

Q.
#結合法則 と
#交換法則 って
ある面，似ている?

A.
全く別物だが
日本語で説明しようとすると
じゃっかん似ている部分も…

・結合法則:
「演算 "の結合" の順序」を入れ換え可能.
((ab)c)＝(a(bc))

・交換法則:
「演算 "の対象" の順序」を入れ換え可能.
ab＝ba

#群論の初歩 28

Q.
T＝{ x＋y√3 | x,y∈ℚ }
S＝T－{0}
Sが積演算について #群 をなすことを示せ.

A.
Sの2元の積は
(a+b√3)(c+d√3)＝(ac+3bd)+(ad+bc)√3∈S
より
#二項演算 が #閉じている.
#結合法則 も満たす.
#単位元 は1.
a+b√3の #逆元 は
1/(a+b√3)＝(a－b√3)/(a^2－3b^2)∈S

#群論の初歩 27

Q.
1次元トーラスから
#群 を構成せよ.

A.
1次元トーラスとは
複素数全体ℂに対し
T＝{z∈ℂ | |z|＝1}
を指す.

Tの元は
乗法について閉じており
#結合法則 を満たす.

#単位元 は z＝1.

元 z＝e^(iθ) の
#逆元 は z'＝e^(-iθ).

よってTは乗法に関し群になる.

#群論の初歩 7

Q.
実数のべき乗操作が
#結合法則 を満たさない事を示せ.

A.
#二項演算 a⊕b ＝ a^b と定義すると
(a⊕b)⊕c＝(a^b)^c …①
a⊕(b⊕c)＝a^(b^c) …②
一般に①≠②より，
結合法則が成り立たない.

例:
(2^3)^4＝8^4＝2^12
2^(3^4)＝2^81
より値が異なる.

#群論の初歩 6

Q.
実数の減法(引き算)の操作が
#結合法則 を満たさない事を示せ.

A.
#二項演算 a⊕b＝a－b と定義すると
(a⊕b)⊕c＝(a－b)－c＝a－b－c …①
a⊕(b⊕c)＝a－(b－c)＝a－b＋c …②
c≠0のとき①≠②となり
(a⊕b)⊕c ≠ a⊕(b⊕c) で
一般に結合法則が成り立たない.

#群論の初歩 5

Q.
ある #代数的構造 に
#結合法則 が課されていると
何が嬉しいのか

A.
演算の「結合順序」を
気にしなくて済むおかげで，
3個以上の元の積を書く時
煩わしい括弧を省略でき楽.

(ab)c ＝ a(bc) で
どちらも同じ値で区別不要のため
括弧を外し単に abc と書けばよい.

#群論の初歩 4

Q.
#群 の公理の #結合法則 を説明せよ.

A.
群Gの
任意の3元 a, b, c について
(ab)c ＝ a(bc)

bを中心に考えると
「左右どちらの元とも合成が可能」ということ.

そして，b を
「左右どちらと合成しても
最終的な3元の演算結果は同じものを指す」
ということ.

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 1
↑
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#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)