#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 44

「#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
#フーリエ変換 を導出できる」
↑
Tは信号の #周期 だから，
Tが無限大という事は
いつまでたっても信号の #波形 に
「繰り返しが現れない」という事.

つまり，#周期信号 ではない
一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 2

①#有限長 信号
②#無限長 信号

①⇔②の相互入れ替え:

・有限長信号の #波形 は
「その波形が #周期的 に無限に繰り返される」
と考えれば
無限長信号にできる.

・無限長信号の波形は
周期性を見出す事ができれば
その周期部分に関する有限長信号として扱える.

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能