＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p192より引用:
『#摂動論 のいちばん #肝心 な所は，
実は #三角関数 などの
#初等的 な #演算 の
#単純 な #繰り返し にすぎない.
ただ，#計算量 の多さのため
全てを誤りなく進めていくことが
(手動では)大変 #困難.』

#複素解析を概観 35

▶[-∞,∞]で分子に #三角関数 を含む実積分

xをzに
cos xをe^iz等に置き換えた積分を作れば
実軸上でその
実部=cos xによる積分
虚部=sin xによる積分

半円を経路にとり
半径R→∞で積分値が消えるようにすると
上(下)半平面で #留数 評価すれば
実軸上の積分値になる

#複素解析を概観 34

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [0, 2π] で
分母に #三角関数 を含む場合

z = e^iθ として
#単位円周 を積分経路とし
dz = i z dθ
cosθ = ( z ＋ z^{-1} ) / 2
sinθ = ( z － z^{-1} ) / 2i
で
zの有理式に置き換える.
分母の #留数 を拾って積分値が分かる.

#アナログ信号の解析法 49

「#熱 の解析的理論」
#フーリエ が1822年に出版.

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
任意の関数は #三角関数 の #級数 で表せると主張

https://blog.goo.ne.jp/ktonega...
#フーリエ級数 や #フーリエ変換 を初めて紹介.
固体の熱伝導現象の #偏微分方程式 を解析的に解いた

#アナログ信号の解析法 19

区間長2πで
#フーリエ級数展開 の係数を求める際
#三角関数 の #直交性

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt＝πδ_{m,n}
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt＝πδ_{m,n}
③∫{-π→π} sin nt cos mt dt＝0

δは #クロネッカーのデルタ で，
添え字が
等しければ1
異なれば0

#アナログ信号の解析法 18

③ ∫{－π→π} cos nt sin mt dt

n≠mの時，
③は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になるので
1周期 #積分 すると0

n＝mの時も同様。
cos nt sin nt ＝ (sin 2nt) / 2 で
1周期積分すると0

#アナログ信号の解析法 17

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt

n≠mの時
①②の中身は #積和の公式 より
1次の #三角関数 になり
1周期 #積分 すると0

n=mの時
①の中身=(1+cos 2nt)/2
②の中身=(1-cos 2nt)/2
いずれも1周期積分するとcosが消え2π・(1/2)=π

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10

#フーリエ級数展開:
cos(2πn・s/T)に
cos(2πm・s/T)をかけると…

▶cos cos や cos sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶cos^2 の項だけは
cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 6

▶実数値関数の #フーリエ級数展開

空間幅L内で定義された
空間パターンf(x)の波形を展開:

f(x)＝a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{
a_n・cos( 2πn・x/L )＋
b_n・sin( 2πn・x/L )
}

#三角関数 は2πで1周り。これに
現在位置 / 全体区間長 = x / L
の整数倍を対応付ける.

#アナログ信号の解析法 5

▶実数値関数の #フーリエ級数展開

時間幅T内で定義された
時間パターンf(t)の波形を展開:

f(t)＝a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{
a_n・cos( 2πn・t/T )＋
b_n・sin( 2πn・t/T )
}

#三角関数 は2πで1周り。これに
現在時刻 / 全体時間長 = t / T
の整数倍を対応付ける.

小中学生はジュニアプログラミング検定の準備。
十分に合格圏に入っているけれど、満点を狙っている様子。
高校生は三角関数や三平方の定理を駆使して円周率の近似値を計算するプログラム。
大人から見ても難しい！

AB-Netキッズプログラミング講座 www.abnet.co.jp/kids/

#子ども #松山 #プログラミング #検定 #三角関数

#信号処理の数学の準備 10
↑
このタグの復習…

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9

#積和の公式 は
#三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し
#次数 を下げるので
#積分 可能になり便利.

しかし #和積の公式 は逆で，
三角関数の1次式を2次式に直し
次数をわざわざ上げるので
積分できなくなる！
だから和積は
#フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8

#フーリエ解析 の出だしで…

実は #積和の公式 を覚える必要はない！

「積和の公式を使えば
#三角関数 の #2次式 を
三角関数の #1次式 に変形できる」
という事実さえ知っていればよい。

なぜなら
「三角関数の1次式」は
1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 4

#三角関数 の #2次式(2乗)を
三角関数の #1次式 に変形

cos 2θ
=cos^2 (θ)－sin^2 (θ) ⑧

⑧=cos^2 (θ) － ( 1－cos^2 (θ) )
=2 cos^2 (θ) － 1
∴cos^2 (θ)＝(1＋cos 2θ) / 2

⑧=( 1－sin^2 (θ) ) － sin^2 (θ)
=1－2 sin^2 (θ)
∴sin^2 (θ)＝(1－cos 2θ) / 2

#信号処理の数学の準備 3

#フーリエ解析 の出だしで必要な
#三角関数 の公式

⑥sin(α+β)＝sin α cos β + cos α sin β

⑦cos(α+β)＝cos α cos β － sin α sin β

⑧cos 2θ ＝ cos^2 (θ) － sin^2 (θ)

⑦の右辺の負号が肝心。
もしそこが+だと
⑧右辺はcos^2＋sin^2=1になってしまう！

#信号処理の数学の準備 1
↑
このタグでは下記の事を考えます。

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。