Grilled Cheese

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@zip358com.bsky.socialOct 2, 2026, 4:02 AM

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@zip358com.bsky.socialOct 2, 2026, 2:20 AM

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@zip358com.bsky.socialOct 2, 2026, 1:02 AM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 11:40 PM

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@gunron-tan.bsky.socialOct 1, 2026, 11:38 PM

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

@gunron-tan.bsky.socialOct 1, 2026, 10:09 PM

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 9:40 PM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 9:02 PM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 8:20 PM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 6:40 PM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 6:20 PM

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@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 5:40 PM

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@gunron-tan.bsky.socialOct 1, 2026, 5:08 PM

#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 2:40 PM

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@gunron-tan.bsky.socialOct 1, 2026, 2:39 PM

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

@zip358com.bsky.socialOct 1, 2026, 1:02 PM

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