#シュレディンガー方程式の導出 20

1次元ポテンシャルU(x)のもとで
速度v(ブイ)で運動する
質量mの #電子 の全エネルギーは
E=(1/2)mv^2+U(x)

運動量p=mvより
E=p^2 / 2m+U(x)

#光子(#光量子)で成立する
#運動量 の #波長 表示の式
p=h/λ
がもし電子にも当てはまれば
E=h^2 / 2mλ^2+U(x)

#シュレディンガー方程式の導出 19

#電磁波(#光子)について，
#運動量 が光の #波長 に反比例すること
p ＝ h / λ　★
を導いた。

ここからは，
「もし #電子 にも波長 λ があるとすると，
この★式は電子にも当てはまるのではないか…？」
と仮定した場合に
どうなるかを見てゆく。

#シュレディンガー方程式の導出 18

①#特殊相対論 より
#光子 の #相対論的エネルギー
E=pc

②#光量子仮説 より
E=hν

③: ①②より
p=hν/c

④波の基本関係式
c=νλ

⑤: ③④より
光子の #運動量 p を #波長 で表示した式
p=h/λ
を得る。
#電磁波 の波長が長いと，光子の運動量が小さい。

#シュレディンガー方程式の導出 17

#高校物理 の復習:

･#光速 c
･#電磁波 の #振動数 ν
･#光 の #波長 λ
について
c ＝ νλ
が成り立つ。
↑
1秒の振動回数νに
1回の振動で波が進む距離λをかけると
1秒に波が進む距離cになる。

※波長λと #振幅 uは別物なので
混同してはならない。

#シュレディンガー方程式の導出 16

① E＝pc を導出するには
#特殊相対論 が必要。

② E＝hν を導出するには
#光量子仮説 が必要。

#光子･歴史的発展
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

この①と②を合体させた式が
p ＝ hν / c
である。

#シュレディンガー方程式の導出 15

#プランク が発見し
#アインシュタイン が名付けた
#光量子仮説 によって…

#光子 の #エネルギー Eは
#光(#電磁波)の #振動数 ν(ニュー)により
E＝hν
だとわかった。

前ツイのE＝pcと合わせると
光子の #運動量 pを振動数表示した式
p＝hν/c
を得る。

#シュレディンガー方程式の導出 14

#光 は…
①マクロなスケールでは波(#電磁波)
②ミクロなスケールでは粒子(#光子，#光量子)

②の時，光子は
#質量 m＝0 であるにもかかわらず
#運動量 p が非ゼロの値をとる。

この時，
光子の持つ #相対論的エネルギー
E
＝√(m^2 c^4＋p^2 c^2)
＝pc

#シュレディンガー方程式の導出 13

#特殊相対論 における
#相対論的エネルギー が
E＝√(m^2 c^4＋p^2 c^2)
である事の導出は例えば
培風館「相対性理論 入門講義」(風間)
5章「相対論的不変性と共変性」
§5.8「重要なローレンツ・スカラーとローレンツ・ベクトルの例」の式(5.108)を参照。

#シュレディンガー方程式の導出 12

まず #特殊相対論 を
既習・既知の前提として認めることにする。

#特殊相対性理論 における
#相対論的エネルギー が
E ＝ √( m^2・c^4 ＋ p^2・c^2 )
である事を示せ。

運動する物体の相対論的エネルギー
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#シュレディンガー方程式の導出 11

前ツイまでで
古典論の #波動方程式
u_xx ＝ (1/c^2) u_tt
の導出方法や，
偏微分方程式としてのタイプも確認できた。

この古典論の波動方程式をもとに
#量子化学 の主役である
量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 10

1次元の #波動方程式 を変形すると
振幅u(x,t)に対し
u_tt / u_xx ＝ c^2　★

★式の両辺を
それぞれ #次元解析 すると
どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。

この事から★式を間違いなく記憶でき，
波動方程式の u_tt と u_xx の項を
混同しなくて済む。

#シュレディンガー方程式の導出 9

古典論の #波動方程式 は…

▶1次元では
u_xx ＝ (1/c^2) u_tt

cは #位相速度[m/s]。

▶3次元では
∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt

∆は #ラプラシアン。

#シュレディンガー方程式の導出 8

▶#双曲型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝k u_tt なる #波動方程式 がある

▶#放物型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝k u_t なる #熱伝導方程式 がある

▶#楕円型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある

#シュレディンガー方程式の導出 7

古典論の #波動方程式 は，
以下の3パターンに分類された
#偏微分方程式 のうちの
双曲型というカテゴリーに属する。

･#双曲型 ←ｺﾚ!
･#放物型
･#楕円型

この3種類の偏微分方程式の
数理的性質と，
おのおのが表す物理的現象とは
覚えておきたい。

#シュレディンガー方程式の導出 6

参考文献:
量子論的な波動方程式
(#シュレディンガー方程式)
を学ぶための前段階として，
まず先に
古典論の #波動方程式 を
導出させる #量子化学 の教科書としては
たとえば東京化学同人
「量子化学　基本の考え方16章」
の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 5

問題:

水平にx軸を取り
両側の壁に水平に固定された弦がある時，
弦をつまんで持ち上げ手を離すと
弦全体はどんな運動をするか？

位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし
u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt
なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#シュレディンガー方程式の導出 4

現代化学･#量子化学
および #前期量子論 は，
#シュレーディンガー の #波動方程式 に
立脚している。

しかしまず先に，
古典論の力学における波動方程式
∂^2 u / ∂x^2 ＝ (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t)
を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 3

#量子化学 の典型的カリキュラム:

･講義1回目で #前期量子論 をやり
･#古典力学 の #波動方程式 を見せ
･そこからの類推で，水素原子の
#シュレディンガー方程式 を導出。

この流れを
「#シュレディンガー方程式の導出」
のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2

#前期量子論 では…

･#古典力学 に(理由も分からず)
演算子置き換えを導入
↓
･#量子力学 へ移行

という流れに
謎，違和感，天下り感を感じます。

が実際は逆で，
「量子力学がまずあって
そこから古典力学が導出される」
という流れが真なのです。

#シュレディンガー方程式の導出 1

堀田先生のご著書
「入門 現代の量子力学」(2021年)では
前時代的な古い教え方ではなく，
次世代を担う量子ネイティブを育成する
新しい教え方がなされています。

一方，#量子化学 などの科目では
いまだに #前期量子論 をしっかり学ぶ必要があります。