#シュレディンガー方程式の導出 24

1次元で運動する #電子 に
#波長 λを仮定すると
E＝p^2 / 2m + Uかつ
p＝h/λ より
E＝h^2 / 2mλ^2 + U
∴
1/λ^2＝(2m/h^2)(E－U)なる
λとEの関係式を得て
これを時間非依存の
#波動方程式 に代入すると
X_xx
=－4π^2 (1/λ^2) X
=－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X

#シュレディンガー方程式の導出 20

1次元ポテンシャルU(x)のもとで
速度v(ブイ)で運動する
質量mの #電子 の全エネルギーは
E=(1/2)mv^2+U(x)

運動量p=mvより
E=p^2 / 2m+U(x)

#光子(#光量子)で成立する
#運動量 の #波長 表示の式
p=h/λ
がもし電子にも当てはまれば
E=h^2 / 2mλ^2+U(x)

#シュレディンガー方程式の導出 19

#電磁波(#光子)について，
#運動量 が光の #波長 に反比例すること
p ＝ h / λ　★
を導いた。

ここからは，
「もし #電子 にも波長 λ があるとすると，
この★式は電子にも当てはまるのではないか…？」
と仮定した場合に
どうなるかを見てゆく。

#シュレディンガー方程式の導出 18

①#特殊相対論 より
#光子 の #相対論的エネルギー
E=pc

②#光量子仮説 より
E=hν

③: ①②より
p=hν/c

④波の基本関係式
c=νλ

⑤: ③④より
光子の #運動量 p を #波長 で表示した式
p=h/λ
を得る。
#電磁波 の波長が長いと，光子の運動量が小さい。

#シュレディンガー方程式の導出 17

#高校物理 の復習:

･#光速 c
･#電磁波 の #振動数 ν
･#光 の #波長 λ
について
c ＝ νλ
が成り立つ。
↑
1秒の振動回数νに
1回の振動で波が進む距離λをかけると
1秒に波が進む距離cになる。

※波長λと #振幅 uは別物なので
混同してはならない。

＜#相対論や宇宙物理学の参考書＞

「相対性理論30講」(1997戸田)

p205より引用:
『#重力場 においては，
下のほうに置いた #原子 が
出す #光 を
#高い所 で #観測 すると，
光の #波長 が
長くなって観測される.
これを #重力 による
#スペクトル線 の #赤方偏移
(#重力赤方偏移)という.』