＜#解析力学の参考書＞ ※一般向け読み物

「ブルーバックス　三体問題
天才たちを悩ませた400年の未解決問題」
(講談社2021浅田)

『#オイラー や
#ラグランジュ によって
#特殊 な #条件 下での
#三体問題 の #解 は
#発見 されたが，
その #一般解 を見つけることは
できなかった…。』

＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」(2018有本)

前書きより:
『#ロボット の運動表現の #言語 は
#オイラー-#ラグランジュ の
#運動方程式 に
依拠するのが基本になる.
運動方程式に
何らかの #制御入力 を
働かせる方式を通し
企図したロボット作業が
遂行できるか考えてゆく.』

#解析力学_Lagrange形式編 118

整理:

物理的安定性を要請すると
「#ラグランジアン は
q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき，
L=L(q,q̇)とおけて
#最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると，
#オイラー・ラグランジュ方程式 や
#ニュートンの運動方程式 は
2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 112

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#オストログラドスキーの定理 は
通常の物理系の #運動方程式 が
2階微分方程式として定式化される理由を
説明する，と解釈される」

#ニュートンの運動方程式 や
#オイラー・ラグランジュ方程式 が
2階なのは
このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 103

「#ラグランジアン Lが
q̈やそれ以上の高階微分を
変数として含む時
#オイラー・ラグランジュ方程式 は
3階以上の微分方程式になる」
ということが分かった.

でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき
#オイラー・ラグランジュ方程式 は2階.
なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102

#ラグランジアン
L(q,q̇,…,q^(n))
が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0

Lがqの2階微分まで含み
L=L(q,q̇,q̈)ならば
∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0
qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101

Lがqのn階微分まで含み
L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n))
である時
#最小作用の原理
δS＝δ∫Ldt＝0
にLを代入し
#変分法 で計算すると
「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」
として
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0
を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 100

Q.
#ラグランジアン がもし
qの二階以上の微分(高階の微分)
を含む場合
#オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？

A.
下記PDFの12ページに計算が.
http://wwwacty.phys.sci.osaka-...
オイラー・ラグランジュ方程式は
2階ではなく
もっと高階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 99

ここまで，
#ラグランジアン が
L(q, q̇)
すなわち q の一階微分までを
変数として含む場合に限って計算を進め，
結果として
#オイラー・ラグランジュ方程式 は
二階の微分方程式となった。

では，
Lがqの二階以上の微分(高階の微分)
を含む場合もあるのか？

#解析力学_Lagrange形式編 98

諸賢の方々のコメントを
下記URLにまとめてある。

"【記号不足】qとqドットは独立？
#解析力学 の
「#オイラー・ラグランジュ方程式」
の偏微分について詳しく知りたい！！ ∬∬∬ "
https://togetter.com/li/181885...

※Togetter編集部イチオシを受賞しました。

#解析力学_Lagrange形式編 96

このように…
具体的な #ラグランジアン を
2変数関数としてグラフ描画し

位置qと
速度vが
#独立変数 で，
各々の変数でそれぞれ
Lを #偏微分 できる.

偏微分の後で
v＝q̇
を代入するのが
#オイラー・ラグランジュ方程式.
という事をよく理解できた.

#解析力学_Lagrange形式編 95

#ラグランジアン が
L(h,v)＝T－U
=(1/2)mv^2－mgh
の時
#オイラー・ラグランジュ方程式
は…

∂L/∂h
－
(d/dt){
[ ∂L/∂v ]_{vにḣを代入}
}＝0 ①

∂L/∂h＝－mg
∂L/∂v＝mv
より，①は
－mg－(d/dt)mḣ＝0
∴
mḧ＝－mg
#ニュートンの運動方程式.