#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 2

e^jα=cosα+j sinα①
e^jβ=cosβ+j sinβ②

①②をかけて
(e^jα)(e^jβ)③
=(cosα+j sinα)(cosβ+j sinβ)
=
(cosα cosβ-sinα sinβ)
+
j(sinα cosβ+cosα sinβ) ④

③=e^{j(α+β)}=cos(α+β)+j sin(α+β)⑤

④⑤の実部と虚部を比較し
sin,cosの #加法定理 を得る。

#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 2

e^jα=cosα+j sinα①
e^jβ=cosβ+j sinβ②

①②をかけて
(e^jα)(e^jβ)③
=(cosα+j sinα)(cosβ+j sinβ)
=
(cosα cosβ-sinα sinβ)
+
j(sinα cosβ+cosα sinβ) ④

③=e^{j(α+β)}=cos(α+β)+j sin(α+β)⑤

④⑤の実部と虚部を比較し
sin,cosの #加法定理 を得る。

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」(1975ミラー)

訳者あとがきより:
『#特殊函数 の
#加法定理，#漸化式，#母函数 が
系統的かつ包括的に論じられ
それが第3-7章の
主たる内容をなしている.
しかしそのような物は
特殊函数と称される
#解析函数 のもつ
多様性の一断面にすぎぬ』

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」(1975ミラー)

序文より:
『ここでの方法が
#高次元 の #Lie環 に対し
#一般化 できる事は #明白.
導かれるのは主に
#漸化式 および
#加法定理 であり，
#群論 の応用としての
#特殊函数 の #直交関係
および #積分変換 を
論ずることはまれ.』