Grilled Cheese

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@paula-projekt.bsky.socialSep 10, 2026, 3:02 PM

Viele finden #Mathe schrecklich, weil sie traumatisiert wurden. Ich bedaure das und möchte mit diesem #Essay eine Lanze für die #Mathematik brechen, den IMO geilsten Hirnfick ever.
#mathematics #math #fractions #Bruchrechnen #trigonometry #EulerIdentity (sic)
1/2 @ #writingCommunity: QP, nix Thread

Überwiegend harmlos: Betrachtung über Brüche Man kann Bruchrechenaufgaben rein grafisch lösen. Visualisierung der Addition der Brüche ½, 1/3, 1/6 mit Hilfe des genialen Spielzeugs https://www.matheretter.de/rechner/gfplot Drei der Linien im Bild oben stellen Brüche dar; die senkrechte Linie ganz links außen ist nur ein Höhenmaß, die anderen senkrechten Linien symbolisieren Wände, die waagerechte Linie ein Längenmaß. Die obere geneigte Linie zeigt den Bruch ein Halbes. Er lässt sich als Treppe darstellen mit Stufen, deren Länge zwei Längeneinheiten (LE) beträgt und deren Höhe gleich einer LE ist. Man braucht noch eine Fußmatte, die die Länge 2 LE und die Höhe null LE hat. Die zählt aber als Stufe! Ohne die Fußmatte könnte man nämlich keine Rampe über die Treppe legen, die genau am Schnittpunkt der ganz linken Senkrechten mit der Waagrechten auskommt. Die Rampe entspricht der Linie. Die Linie setzt Höhen und Längen miteinander in Beziehung. Jede Stelle auf der Linie, „Punkt“ genannt, gehört zu einer bestimmten Höhe und einer bestimmten Länge. Die mittlere Linie stellt den Bruch ein Drittel dar. Dessen Stufen sind drei LE lang und eine LE hoch. Die untere Linie zeigt den Bruch ein Sechstel: sechs LE lang, eine LE hoch. Gefragt wird nach der kleinstmöglichen Länge, bei der jede Treppe an ein und dieselbe Wand andocken kann; nur Treppen mit ganzen Stufen zählen. Man sieht, dass diese Länge sechs LE beträgt. Jetzt muss man nur noch die Einzelhöhen an der Wand ablesen und addieren: Das Ergebnis ist der neue Zähler. 1/2 + 1/3 + 1/6 = Eine Stufe der Länge 6 und Höhe 1 plus zwei Stufen mit Länge 3 und Höhe 1 plus drei Stufen mit Länge 2, Höhe 1. Macht sechs im Zähler (1 + 2 + 3) und sechs im Nenner. => ½ + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 => (3+2+1)/6 = 1 Brüche setzen Zahlen oder Dinge miteinander in Beziehung. Dabei entspricht hier der Zähler, der die Zahl der Stückchen zählt, der Höhe und der Nenner, der deren Größe nennt, der Länge. Vergessen Sie die Pizza.Je größer der Zähler ist, desto größer wird der Bruch bei gleichbleibendem Nenner und ... [umgekehrt] Solche Beziehungen wie die zwischen dem Zähler und der Größe seines Bruchs heißen proportional. Man kann sie als Linien darstellen. Je größer aber der Nenner eines Bruchs ist, desto kleiner ist der Bruch bei gleichbleibendem Zähler und umgekehrt. Solche Beziehungen nennt man antiproportional. Addition der Brüche ½, 1/4, 1/7, 1/14, 1/28... Hier...eine Stufe der Höhe 1 und der Länge 28, 2 Stufen der Höhe 1 und der Länge 14, vier Stufen der Höhe 1 und der Länge 7, 7 Stufen der Höhe 1 und der Länge vier und 14 Stufen der Höhe 1 und der Länge 2. ½ + ¼ + 1/7 + 1/14 + 1/28 ist gleich 14/28 +7/28 + 4/28 + 2/28 +1/28. 14 Stufen der Länge 2 passen zwischen Start und Wand, aber nur 7 mit der Länge 4, 4 mit der Länge 7, zwei mit der Länge 14 und eine mit der Länge 28. Und das ist gleich (14 + 7 + 4 + 2 + 1)/28. Im Zähler stehen wieder alle Höhen, die zur senkrechten Wand „28“ gehören. Da hier alle Stufen nur eine LE hoch sind, braucht man nur die Zahl der Stufen zu zählen, um sofort zur Gesamthöhe zu kommen, die im Zähler steht. Dass die Länge gleich 28 ist, kann man schön sehen, weil alle Treppen dort eine ganze Stufe als Abschluss haben. Sechs und 28 sind ganz besondere Zahlen. Die Summe ihrer echten Teiler entspricht ihrem Wert. Man nennt sie „perfekte“ oder „vollkommene“ Zahlen. Die nächsten beiden perfekten Zahlen sind 496 und 8128. Die fünftkleinste perfekte Zahl hat schon acht Stellen: Es ist 33550336. Vorzeichen der Brüche Die Richtung entscheidet über das Vorzeichen. Vorwärts, rechts und aufwärts sind positiv konnotiert, rückwärts, links und abwärts negativ. Wenn Höhe (Zähler) und Länge (Nenner) negativ sind, ist der Bruch als Ganzes positiv, denn man befindet sich auf einer Treppe im Keller, die nach rechts oben führt. Wenn Zähler und Nenner positiv sind, ist auch der Bruch positiv. Die zugehörige Treppe beginnt frühestens im Erdgeschoss. Ist der Zähler negativund der Nenner positiv, muss man nach rechts gehen und nach unten. Das entspricht einer Treppe von links oben nach rechts unten, die im Erdgeschoss startet. Ist der Zähler positiv und der Nenner negativ, muss man nach links gehen und dann nach oben. Auch diese Treppe geht von links oben nach rechts unten, aber diesmal kommt sie von oben und endet im Erdgeschoss. Null durch null? Der Wert eines Bruches ist gleich null, wenn sein Zähler null ist. Das entspricht einer Fußmatte, die die Höhe null hat. Egal, wie lang sie ist, ihre Höhe bleibt gleich null: Es gilt 0/a =0, sofern a ungleich null ist. Der Wert eines Bruches ist gleich eins, wenn Zähler und Nenner gleich groß sind, weil Brüche Zahlen/Dinge ins Verhältnis setzen. Vier zu Vier verhält sich genauso wie eins zu eins und 1000 zu 1000: a/a ist gleich eins, sofern a ungleich null ist. Der Wert eines Bruches mit gleichbleibendem Zähler wird umso größer, je kleiner sein Nenner ist, denn man fragt sich, wie oft der Nenner im Zähler Platz hat. Wahnsinnig kleine Nenner passen wahnsinnig oft in einen Bruch. Der Nenner darf nicht Null werden: a/0 ist nicht definierbar. Es entspricht der steilsten Treppe der Welt, die aber keine Wand ist. Der Unterschied zwischen Treppe und Wand ist unheimlich wichtig. Was ist dann 0/0? Um sich aus der Affäre zu ziehen, nennt man 0/0 „nicht definiert“. Dann kommt man um Rechthaberei herum, und die drei Darstellungen von oben bleiben richtig. Eigentlich gilt Strichrechnung bei Brüchen als schwieriger als Punktrechnung, aber wie wir gesehen haben, ist Strichrechnung gar nicht schwierig. Negative Brüche sind Treppen von links oben nach rechts unten. Deren Höhen muss man abziehen. Man kann jeden negativen Bruch so interpretieren, dass seine Höhe negativ zählt! Und das sollte man auch, wenn man Bruchaddition und -subtraktion zeichnerisch betreibt.... Wird fortgesetzt. Dieser Screenshot enthält den Teil des Textes, der nicht mehr in den ALText gepasst hat. Das ist übrigens ein schöner Trick, um längere Texte in einem einzigen Beitrag unterzubringen: Thread, go home. Die Multiplikation lässt sich ebenfalls zeichnerisch darstellen. a/b mal c/d mit a<b und c<d ist ein Rechteck mit der Fläche bd. Diesem wird ein kleineres Rechteck einbeschrieben, dessen Fläche ac ist. Jetzt muss man nur noch Kästchen zählen. Beispiel 2/3 mal 5/7. Man macht ein großes 3*7-Rechteck. Diesem beschreibt man das kleine Rechteck 2*5 ein. Man erhält 10/21: Das kleinere Rechteck ist der neue Zähler, das größere der neue Nenner. ABER: Womöglich haben die beiden Brüche gleiche Teiler. In dem Fall kann man kleinere Rechtecke zeichnen, die im selben Verhältnis zueinander stehen. Beispiel 2/3 mal 5/8. Dann ist das kleinere Rechteck immer noch zehn Flächeneinheiten (Kästchen) groß, aber das größere hat 24 Kästchen. Zehn zu 24 verhält sich aber wie 5 zu 12. Das kann man sehen, wenn man den Bruch 10/24 zeichnet. Man sieht, dass man hier zwei Stufen machen kann, deren jede fünf LE hoch ist und 12 LE lang. Wenn a größer ist als b und wieder c<d gilt, wird das große Rechteck eine Fläche von ad statt bd haben, aber jedes Kästchen von a ist nur „ein B-tel“ (entspricht 1/b) wert! Bruchdivision: Man fragt sich, wie oft der Nenner im Zähler Platz hat. 1/a passt a mal in ein Ganzes: Ein Eintel (gleich ein Ganzes) durch ein Achtel ist gleich ein Eintel mal acht Eintel! Acht Eintel sind der „Kehrwert“ eines Achtels. Bruchdivision ist also total einfach: Man nimmt mit dem Kehrwert mal, statt richtig zu dividieren! Und das kann man zeichnerisch machen wie gezeigt.