원자 사슬에 갇힌 전자에 대한 디랙 방정식의 해석적 해는 수소와 유사한 주 양자수를 갖는 양자화된 에너지 상태를 드러내며, 스펙트럼 대역이 미세 구조 서브밴드로 분열되어—일차원 체계에 상대론적 양자역학을 확장한다.

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상대론적 디랙 방정식에서 스칼라, 벡터 및 텐서 결합이 동시에 나타나는 새로운 일반화된 조화 진동자 문제에 대한 정확한 결합상태 해. 일반화된 라게르 다항식으로 표현되며 완전한 스펙트럼 분류를 제시.

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