#群論入門_剰余類編 86

Q.
部分群の #指数 を
剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ.

A.
#群 G の #部分群 H について，
「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」
という
倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 78

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hによる
#左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を
整理すると.

A.
左分解が
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　①
ならば
右分解は
G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　②
で与えられ，
①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 76

Q.
群Gの部分群Hによる左分解における
#左剰余類 H x_i から
#右剰余類 (x_i)^{-1} Hを作る時，
{(x_i)^{-1}H}が
Gの #右分解 を与える事を示せ.

A.
(x_i)^{-1}H同士は共通元を持たず
∅でなく
Gの任意の元がいずれかの(x_i)^{-1} Hに属し
Gを過不足なく #類別 する.

#群論入門_剰余類編 72

Q.
#群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
#類別 の性質より
Gの任意の元は
Hによるいずれかの #左剰余類 に属する.
この時
Gの任意の元は
Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ

A.
前ツイより
x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H
∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 59

Q.
#群 G の
#部分群 H による #右分解 とは.

A.
#左分解 の時と同じく
G の H による #右剰余類 を
b_1 H,
b_2 H,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ …
を
G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 56

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解 とは.

A.
G の H による #左剰余類 を
H a_1,
H a_2,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
を，
G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 40

Q.

(1)
集合X内に
何らかの #同値関係 が存在する

(2)
集合Xを #類 で #類別(#分割)できる

(1)⇔(2) を示せ.

A.
1⇒2:
同値関係があれば
#同値類 で類別できる事を証明済.

2⇒1:
類別がある時
同じ類に属する事を #同値 とみなせば
同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 39

Q.
集合Xのある #分割(#類別)において
「aとbは同じ #類 に属する」という
#同値関係「a～b」を定める際
「～」が
#同値律 の3定義を満たす事を示せ

A.
元a,bが類Cに属する時
a～a
a～b⇒b～a
a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c
∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 37

Q.
集合 X を
#二項関係「～」による #同値類 で #類別 し
#同値分割 をつくる時，
#商集合 をどのような記号で表記するか

A.
"Xの「～」による商集合" を
X / ～
と表記する.

これは #同値類 の集合だから
X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X }
と書ける.

#群論入門_剰余類編 35

Q.
「集合は #同値類 によって #類別 できる」
かみ砕いて言い換えると

A.
ある #二項関係 がある時
その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば
その二項関係を使って
集合を #同値類 にわけることができ
それらの同値類で
もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 33

Q.
集合 X の
異なる #同値類 全ての集合を
C_{a_1}, C_{a_2}, … とする.

X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ …　①
が，
集合Xの #類別(#分割)である事を示せ.

A.
各iについてC_{a_i}≠∅.
各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅.
Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.

#群論入門_剰余類編 15

・(#類別 の #類 の)#代表元:
representative

・(類別の)#完全代表系:
complete system of representatives

Transversal (combinatorics)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
完全代表系を
system of distinct representatives; SDR
とも表記
※意味合いは異なる場合がある

#群論入門_剰余類編 14

Q.
集合Aの #類別(#分割)
A＝A_1＋A_2＋…
の #完全代表系 とは

A.
各 #類 A_i の #代表元 を
1つずつ任意に選び a_i とし，
代表元の集合
{ a_1, a_2, … } を
この類別の完全代表系と呼ぶ.

代表元の選び方は任意性があるので
完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 12

Q.
#類別(#分割)において
#類 の #代表元 の選び方に
任意性を仮定してよいのはなぜ?

A.
類別において類同士に共通部分は無く，
どんな代表元の選び方をしても
1つの代表元は必ず1つの類のみに属し，
ある代表元がどの類を指す(代表する)か
重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11

Q.
集合 A の #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
において，
類 A_i の #代表元 とは

A.
ある1つの #類 A_i 内で
自由に選んだ1つの元 a_i を考える時，
元 a_i を
類 A_i の代表元という.

1つの類の中で
代表元の選び方は任意性がある.
(どれを選んでもよい)

#群論入門_剰余類編 8

Q.
ある集合Aの
#直和分割(#直和分解)とは.

A.
集合Aの #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …　①
において，
①の式を
A ＝ ∪_i (A_i)　②
と表記し，
この類別における全ての #類 A_i の集合を
「Aの直和分割」，
②の式を A_i の #直和 と呼ぶ.