#群論入門_剰余類編 78

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hによる
#左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を
整理すると.

A.
左分解が
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　①
ならば
右分解は
G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　②
で与えられ，
①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 61

Q.
#左代表系 とは.

A.
#群 Gの
#部分群 Hによる #左分解
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
における
{ a_1, a_2, … } のこと.

各 #左剰余類 H a_i ごとに
その #類 の #代表元 a_i を
任意に選んだものの集合が
全ての左剰余類の
#完全代表系 をなし
左代表系という.

#群論入門_剰余類編 57

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
において，
a_1, a_2, … は何を表すか.

A.
元 a_i は
左剰余類 H a_i の #代表元 で，
#類 の中での代表元の選び方には任意性がある.

元 { a_1, a_2, … } は
全ての左剰余類の
#完全代表系.

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 40

Q.

(1)
集合X内に
何らかの #同値関係 が存在する

(2)
集合Xを #類 で #類別(#分割)できる

(1)⇔(2) を示せ.

A.
1⇒2:
同値関係があれば
#同値類 で類別できる事を証明済.

2⇒1:
類別がある時
同じ類に属する事を #同値 とみなせば
同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 39

Q.
集合Xのある #分割(#類別)において
「aとbは同じ #類 に属する」という
#同値関係「a～b」を定める際
「～」が
#同値律 の3定義を満たす事を示せ

A.
元a,bが類Cに属する時
a～a
a～b⇒b～a
a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c
∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 15

・(#類別 の #類 の)#代表元:
representative

・(類別の)#完全代表系:
complete system of representatives

Transversal (combinatorics)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
完全代表系を
system of distinct representatives; SDR
とも表記
※意味合いは異なる場合がある

#群論入門_剰余類編 14

Q.
集合Aの #類別(#分割)
A＝A_1＋A_2＋…
の #完全代表系 とは

A.
各 #類 A_i の #代表元 を
1つずつ任意に選び a_i とし，
代表元の集合
{ a_1, a_2, … } を
この類別の完全代表系と呼ぶ.

代表元の選び方は任意性があるので
完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 13

集合の #分割 (Partition of a set)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ある集合X全体を
互いに重ならない部分(ブロック，セル)に分けること

・集合Xの分割は
『「Xの空でない部分集合」(＝#類)の集合』.
Xの個々の元xは
必ず1つの部分集合(＝類)にのみ属している.

#群論入門_剰余類編 12

Q.
#類別(#分割)において
#類 の #代表元 の選び方に
任意性を仮定してよいのはなぜ?

A.
類別において類同士に共通部分は無く，
どんな代表元の選び方をしても
1つの代表元は必ず1つの類のみに属し，
ある代表元がどの類を指す(代表する)か
重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11

Q.
集合 A の #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
において，
類 A_i の #代表元 とは

A.
ある1つの #類 A_i 内で
自由に選んだ1つの元 a_i を考える時，
元 a_i を
類 A_i の代表元という.

1つの類の中で
代表元の選び方は任意性がある.
(どれを選んでもよい)

#群論入門_剰余類編 8

Q.
ある集合Aの
#直和分割(#直和分解)とは.

A.
集合Aの #類別(#分割)
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …　①
において，
①の式を
A ＝ ∪_i (A_i)　②
と表記し，
この類別における全ての #類 A_i の集合を
「Aの直和分割」，
②の式を A_i の #直和 と呼ぶ.

#群論入門_剰余類編 4

Q.
1)
2つの集合 A, B が
#互いに素 とは.

2)
3つ以上の集合どうしが
互いに素とは.

A.
1)
A, B が共通の元を持たないこと.
A ∩ B ＝ ∅

2)
どの2つの集合を選んでも
常に共通の元を持たないこと.

集合の #類別(#分割)において
#類 どうしは互いに素.

#群論入門_剰余類編 3

Q.
集合Aの #類別(#分割)が
A ＝ A_1 ∪ A_2 ∪ …
である時，

1) この類別を＋記号で書きなおせ
2) 各 A_i を何と呼ぶか

A.
1)
A の類別を，＋の記号を使い
A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ …
と書く場合がある.

2)
類別の式に現れる各 A_i を
この類別の #類 という.

#群論入門_剰余類編 1
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このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理