＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 31

Q.
「レビ・チビタの #完全反対称テンソル」…

「ちびた」って何…？

A.
人名です

トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・Tullio Levi-Civita (イタリア出身)
・ #テンソル 解析学に貢献
・ #レビ・チビタ記号 の考案者

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 30

Q.
「レビ・チビタの #完全反対称テンソル」
(#レビ・チビタ記号) とは。

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

(i,j,k)＝(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)のとき ε_{ijk}＝1
(i,j,k)＝(3,2,1),(2,1,3),(1,3,2)のとき ε_{ijk}＝－1
その他のとき ε_{ijk}＝0

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 29

Q.
座標軸をxyzではなく番号で表記することにする。
↑A＝(A₁, A₂, A₃)^T
↑B＝(B₁, B₂, B₃)^T

#外積 を求めよ。

A.
↑A × ↑B =
(
A₂ B₃ － A₃ B₂,
A₃ B₁ － A₁ B₃,
A₁ B₂ － A₂ B₁
)

次ツイ以降で
この成分表記を簡略化する。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 28

Q.
↑A×↑B の y 成分の
幾何的及び物理的意味を解釈せよ。

A.
(↑A×↑B)_y

・幾何的に：
↑A×↑B が，zx平面上で張る
「平行四辺形の符号付き面積」。

・物理的に：
↑A×↑B が，y軸方向をコマの軸として
zx平面上で起こす「回転の大きさ」。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 27

Q.
↑A×↑B の x 成分の
幾何的及び物理的意味を解釈せよ。

A.
(↑A×↑B)_x

・幾何的に：
↑A×↑B が，yz平面上で張る
「平行四辺形の符号付き面積」。

・物理的に：
↑A×↑B が，x軸方向をコマの軸として
yz平面上で起こす「回転の大きさ」。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 26

Q.
#外積 のx成分は
yz平面上の平行四辺形の面積。
これを使って何がしたい?

A.
x方向をコマの軸とした時の
「yz平面上での回転の大きさ」を知りたい。

高校物理で学ぶ
力の #モーメント の公式と同じで
平行四辺形の面積が大きいほど回転が強い。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 25

Q.
ベクトル
↑A×↑B
の x 成分を
( ↑A×↑B )_x
と書く。(成分なのでスカラー)

( ↑A×↑B )_x ＝ A_y B_z － A_z B_y
この右辺は何を意味するか？

A.
「↑Aと↑Bが，yz平面上で張る平行四辺形の
符号付き面積」である。
https://math.keicode.com/vecto...
.

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 24

Q.
↑A = (A_x, A_y, A_z)^T
↑B = (B_x, B_y, B_z)^T

#外積 を求めよ。

A.
↑A × ↑B =
(
A_y B_z － A_z B_y,
A_z B_x － A_x B_z,
A_x B_y － A_y B_x
)

#クロス積
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 23

ここまでの記法を使えば，ひとまず
#内積 の計算はOK。

次に，ここからは
#外積 の計算に入ろう。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 22

一部の下添え字は Aᵢ のように
#Unicode で表示可。
ただし y, z は無い

https://en.wikipedia.org/wiki/...

Aₐ Aₑ Aₕ Aᵢ Aⱼ Aₖ Aₗ Aₘ Aₙ Aₒ Aₚ Aᵣ Aₛ Aₜ Aᵤ Aᵥ Aₓ
Aₔ
A₀ A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆ A₇ A₈ A₉
A₊ A₋ A₌ A₍ A₎

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 21

Q.
添え字の総和記法
A_i A_j B_i B_j
をベクトル記法に戻せ。

A.
A_i A_j B_i B_j
=A_i B_i A_j B_j
=( A_i B_i ) ( A_j B_j )
=( Σ_i A_i B_i ) ( Σ_j A_j B_j )
=( ↑A・↑B ) ( ↑A・↑B )
=( ↑A・↑B )^2

計算のコツ…同じ添え字をまとめる

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 20

Q.
(↑A・↑B)(↑C・↑D)
＝A_i B_i C_j D_j

iについての和と
jについての和が混ざる？

A.
A_i B_i C_j D_j
=(Σ_i A_i B_i)(Σ_j C_j D_j)
=Σ_i ( A_i B_i (Σ_j C_j D_j) )
=Σ_i Σ_j (A_i B_i C_j D_j)
=Σ_j Σ_i (A_i B_i C_j D_j)
困りません。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 19

Q.
( ↑A・↑B )( ↑C・↑D )
を #縮約記法 を使って計算せよ。

A.
( ↑A・↑B )( ↑C・↑D )
＝( Σ_i A_i B_i )( Σ_j C_j D_j )
＝( A_i B_i )( C_j D_j )
＝A_i B_i C_j D_j

※2つある総和計算で同じ記号 i を使ったら✖。
iとjのように分けよ。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 18

Q.
計算せよ。(3次元とする)

(1)
A_i

(2)
A_i＋B_i

(3)
A_i＋2 B_j

A.

(1)
A_i
=Σ_i A_i
=A₁＋A₂＋A₃

(2)
A_i＋B_i
=Σ_i (A_i＋B_i)
=A₁＋B₁＋A₂＋B₂＋A₃＋B₃

(3)
A_i+2B_j
=Σ_i A_i + 2Σ_j B_j
=A₁+A₂+A₃ + 2B₁+2B₂+2B₃

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 17

Q.
総和Σの略記法で
A_i B_i ＝ A_j B_j ＝ A_k B_k

添え字としてどんな文字でも使ってよい，
となると
式が混乱しませんか？

A.
総和を計算し終わったら
それら一時的な変数は消える。

だから，正体不明の変数名で困り続けることはない。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 16

Q.
添え字の総和の略記法で
A_i B_i
という式が書かれている。

この式を，i ではなく
j や k を使って書き直せ。

A.
A_i B_i ＝ A_j B_j ＝ A_k B_k

プログラムのforループ内で
カウンタ用変数を i の代わりに j や k としても
同じことである。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 15

Q.
座標軸を番号で表現し
Σ の表記を略す仕方で
ベクトルの #内積 を書く場合，
和を取るための仮変数は
「i」という字でなければいけないの？

A.
そんなことは無く
「和を取るための一時的な使い捨ての変数」
であることが分かれば基本何でもよい。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 14

Q.
座標軸を番号で表現し，
なおかつ Σ の表記を略す仕方で
ベクトルの #内積 を書け。

A.
↑A・↑B
= Σ_i A_i B_i
= A_i B_i

2次元なのか3次元なのかは文脈で自明。
i が「1から3までインクリメントして和を取る」という仮変数である事も自明。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 13

Q.
Σ{i=1→3} A_i B_i
を略して
A_i B_i
と表記することにしよう。

このような省略をしても困らないのはなぜ？

A.
いきなり i が現れた時点で
i は和の「仮パラメータ」である事が伝わるので，
あえて"Σ"を書かなくても良い。
次元も文脈でわかる。

＜#電磁気学のベクトル解析の初歩＞ 12

Q.
#電磁気学 の文脈で突然
Σ_i A_i B_i
という式が現れた。

この i と Σ について各々，何が自明か？

A.
i は和を取るための「使い捨ての変数」であることは自明。変数の意味に説明を要さない。

Σ が「3次元空間の和」を計算していることも自明。