#群論入門_剰余類編 92

Q.
#ラグランジュの定理 で考えると，
集合の「部分集合」と
#群 の「#部分群」には
どんな決定的な差異があるか.

A.
部分集合の要素の数は，
何個でもよい.

しかし
部分群の要素の個数は
もとの群と比べた場合の約数しか許可されない.
(整数論的な縛りが生じる)

#群論入門_剰余類編 90

Q.
#群 Gの任意の元 a に対し
a の #位数 が
G の位数の約数である事を示せ.

A.
元 a∈G が #生成 する #巡回部分群
H ＝ ‹a›
は G の #部分群.

a の位数は #巡回群 H の位数
|H| ＝ |a|.

#ラグランジュの定理 より
|H| は |G|の約数.
∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89

Q.
#群 G とその任意の元 a に対し
a^|G| を求めよ.

A.
元 a の #位数 は
a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の
元の個数であり
H は G の #部分群.
また元 a の位数は
a^m＝e
をみたす最小の自然数mでもあるので，
a^|H|＝e.
両辺を |G:H| 乗すると
a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 88

Q.
#群 G_1 の #部分群 G_2
G_2の部分群G_3に対し
| G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 |
を示せ.

A.
#ラグランジュの定理 で
部分群の #指数 を分数で書き換えると
| G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2|
| G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3|
より題意の式が従う.

#群論入門_剰余類編 87

Q.
#有限群 において
#部分群 の #指数 が
大きい・小さいとは
どういうことか

A.
|G:H| ＝ |G| / |H|
部分群よりもとの #群 は何倍大きいか.

指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ.
指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ.
指数が大きければ部分群は小さい.

#群論入門_剰余類編 86

Q.
部分群の #指数 を
剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ.

A.
#群 G の #部分群 H について，
「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」
という
倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 85

Q.
#有限群 G が
#部分群 H をもつ時，
H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは.

A.
#ラグランジュの定理 より
(Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数)
なので，

「Hの位数も
Hの指数も，
Gの位数の約数でなければならない」

という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 84

#部分群 の #指数(index of a subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

HのGにおける指数:
|G : H| (＝|G|/|H|)
[G : H]
(G:H) などと表記される.

・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』

・NがGの #正規部分群 なら
|G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81

Q.
#群論 における #ラグランジュの定理 とは.

A.
#有限群 G が
#部分群 H を持ち
群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時，
群 G の #位数 が
部分群 H の指数および位数を使って
|G| ＝ |G:H| |H|
と表せることをいう.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p176より引用:
『#全て の #部分群 が
#正規 であるような
#最小 の #非可換群 は，
#ハミルトン の
#四元数群 と呼ばれる。
また
どんな #真部分群 も
正規でないような
最小の非可換群は，
#位数 60の
#20面体群 である。』

#群論入門_剰余類編 80

Q.
#有限群 G の元 g と
G の #部分群 H に対し
| H g | ＝ | H | を示せ.

A.
Hの相異なる2元 h_1, h_2 から
Hg の元
s＝h_1 g
t＝h_2 g
を作る.
仮にs＝tとすると
#群 の #簡約法則 より
h_1 g ＝ h_2 g
⇒ h_1＝h_2となり矛盾.
∴Hg内に|H|個の異なる元をとれる.

#群論入門_剰余類編 79

Q.
部分群の #指数 とは.

A.
#有限群 G の #部分群 H による…
・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数
・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数
は互いに等しく，
その数を
群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ.

|G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hによる
#左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を
整理すると.

A.
左分解が
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　①
ならば
右分解は
G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　②
で与えられ，
①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 77

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hがある時
GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数
＝
GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数
を示せ.

A.
ある左剰余類Hxがある時
Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを
ただ1つ作ることができ
逆も真.
よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 73

#群 Gの元x,yと
Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
xが属する #左剰余類 をHyとすれば
x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである.

このように
左剰余類Hyをもとに
右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時，
つくられた右剰余類の集合は
Gの #右分解 になるだろうか?

#群論入門_剰余類編 72

Q.
#群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
#類別 の性質より
Gの任意の元は
Hによるいずれかの #左剰余類 に属する.
この時
Gの任意の元は
Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ

A.
前ツイより
x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H
∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 71

Q.
#群 G のある2元 x, y と
Gの #部分群 H に対し，
Gの #左剰余類 H y があって
x ∈ H y である場合，
x^{-1} ∈ G は
Gのいかなる #右剰余類 に属するか?

A.
x ∈ H y ＝ { h y | h ∈ H }
ならば
x^{-1} ∈ ( H y )^{-1}
＝y^{-1} H^{-1}
＝y^{-1} H.

#群論入門_剰余類編 70

Q.
#群 G の元 g と
Gの #部分群 H に対し，
元と群の積をとった形の表記
gH ＝ { gh | h∈H }
を考える.

#逆元 の集合
(gH)^{-1} を求めよ.

A.
(gH)^{-1}
＝{ z^{-1} | z ∈ gH }
＝{ (gh)^{-1} | h∈H }
＝{ h^{-1} g^{-1} | h∈H }
＝H^{-1} g^{-1}
＝H g^{-1}

#群論入門_剰余類編 67

Q.
#左分解 や #右分解 を，
「Gという集合を
Gよりも小さな
Hという部品に分解できる」と解釈してみる.
その場合，
Hは適当な部分集合で良いのか?

A.
そうではなく
Hは #群 の #公理 を満たす必要がある.
単なる「部分集合」と
構造を持つ「#部分群」との差がこれ.