＜#量子論の参考書＞

「量子論のための表現論」(共立出版2014林)

『#量子力学 において，
#表現論 的構造を #意識 すると
問題を深く #理解 でき，
#一般化 が #容易 になる事が多い.
本書では，表現論的 #考え方 が
#量子論 の理解のための
基本的な #インフラ として
機能するように…』

＜#代数学の参考書＞

SGCライブラリ
「演習形式で学ぶリー群・リー環」(2012示野)
https://bookmeter.com/books/47...

前書きより:
『#リー群 と #リー環，
そしてその #表現論 は，
#数学 の様々な分野や
#物理学 に現れる.
また，#具体例 が豊富であり
#実例 の #計算 を通して
身に着けていける.』

#群論の知識

#モジュラー表現論 (modular representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #表現論 の一部として，有限群の
正 #標数 の #体 上での線型表現を研究.

下記PDFの論説を読むとよい.

「#有限群 のモジュラー表現論における予想について」
2013・宇野
https://www.jstage.jst.go.jp/a...
.

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」
(産業図書1975ミラー)
https://www.kinokuniya.co.jp/f...

序文より:
『#二階常微分方程式 の #固有値
およびその #解 の満たす
#漸化式 を求める上で
#強力な手段 である
#因子分解法 は，
4種の #Lie群芽 の #表現論 と
#同等 であることがわかる。』

＜#物理数学の参考書＞

「球面調和函数と群の表現」(2018野村)

著者サイトより
『#球面調和函数 の
#古典理論 を
#直交群 の #作用 を
前面に押し出しよりモダンに.
背景で働くSL(2,R)という
#群(実際はその #2重被覆群)とのペアを
#表現論 での
#双対ペア(dual pair)の典型例として扱う.』

＜#量子論の参考書＞

「量子論のための表現論」
https://www.amazon.co.jp/dp/43...
・出版年: 2014年
・出版社: 共立出版
・著者: 林

「#数学 としてはよく知られている
#表現論 の知識を，
#量子論 の立場から，
量子論のテーマに #応用 しやすいよう
#再構成 して提供。」

＜#代数学の参考書＞

シュプリンガー
「古典群 ― 不変式と表現」(2004ワイル)
https://www.kinokuniya.co.jp/f...

「これまで日本語訳が
なかったのは1つの不思議であった.
本書は
#19世紀 に盛んに行われた
#不変式 の #理論 を押し進め，
さらに #不変式論 の立場から
#リー群 の #表現論 を展開.」

#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

＜#物理数学の参考書＞

SGCライブラリ
「共形場理論
現代数理物理の基礎として」(2011)

前書きより
『本書でカバーできなかった
進んだ話題は
#Affineリー代数 と
#自由場表現，
#超共形代数 とその #表現論 など.
#共形場理論 の応用として重要なのは
#超弦理論 であるが本書は扱わない.』

#群論の知識

「#群 の #表現論 といっても
#ジョルダン標準形 の話と
ある意味で同じである。

本書第3章の趣旨は，
ジョルダン標準形の理論は
K[T] #加群 の分類に等しい
という事であった。

すなわちそれは，
#モノイド N_0 の表現論なのである。」

(朝倉書店「加群十話」より)

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

p59より:
『#ビラソロ代数 の
#表現論 に立ち入る前に，
#量子力学 で
#回転群 あるいはSU(2)の
果たす役割を復習.
SU(2)の #表現 を
詳しく調べる事で
#スピン の #量子化 が得られる.
SU(2)は3つの #生成子
J_1，J_2，J_3を持つ.』

#群論の知識

#シューアの補題 (Schur's lemma)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#群 の #表現論 で基本的かつ有用な定理.

下記ページの説明が簡潔.
https://ja.wikibooks.org/wiki/...

Schurの補題:
φ : G → GL(V)
ψ : G → GL(W)
を #既約表現 とすると，
G #準同型
f: V → W
は零写像か #同型 写像.

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

前書きより:
『#共形代数 の #表現論 と
#保型形式 の理論，
そして
巨大な #位数 を持った
#有限群 との間の
#ミステリアス な関係である
#ムーンシャイン と呼ばれる現象に
新しい #発展 があり，
本書の最後の部分で紹介したい.』

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

＜#代数学の参考書＞

「物理学におけるリー代数　原著第2版」
(ジョージァイ2010)

裏表紙より:
『#簡単 な #量子力学系 から
#アイソスピン，そして
SU(5) や SO(10) や
#例外群 に基づく
#大統一理論 に至るまで，
#リー代数 とその #表現論 を
#説明 してゆく #手際 は
#見事 である。』

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」(1975ミラー)

前書きより
『本書英語版(1968)が出版されて以来
#Lie環 の #表現論 からする
#特殊函数 の研究は
かなりの進歩を見た.
下記論文を参照』

Symmetry,
Separation of Variables,
and Special Functions
https://www.sciencedirect.com/...
.

#群論の知識

#表現論 (representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#ベクトル空間 の線形変換」として
#代数的構造 を #表現 することで，
代数構造上の #加群 を研究する分野.

抽象的な代数的構造の元と演算を
#行列 と行列の和や行列の積で記述し，
より具体的にする.

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

p5より
『空間の性質に関連しなくても
物理系の構成要素の数により
高次の #群 が応用される.
#量子力学系 では
その #力学系 特有の #対称性 が
隠れて存在している場合もある.
これらの事情で一般の
#コンパクト単純リー群 の #表現論 を…』

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原)

p2より引用:
『#アノマリー の大きさは
#共形場理論 を特徴付ける
重要なパラメータであり，
物理系の自由度の大きさの目安を与え，
#ビラソロ代数 の #表現論 においては
#中心電荷 として活躍する。』