#群論の知識

#有限単純群 の #分類 について:

･#1983年 以前の本:
「まだ完了してない」と記載されている。

･#2004年 以前の本:
「#1982年 頃に完了した」と誤記載されている。
(その後2004年に再宣言された.)

古い本を読む際には気を付けよう！

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List of finite simple groups
(有限単純群のリスト)
https://en.wikipedia.org/wiki/...

List of small groups
(小さな群のリスト)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.

#群論の知識

有限単純群の分類
classification of the finite simple groups
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

全ての有限単純群を
大まかなクラスへ分類する定理.

#1983年 分類完了宣言
→漏れ発見
→#2004年 に再び分類完了宣言

1955～2004年に100以上の著者が
計1万5000ページ以上の論文で証明

#群論の知識

#モジュラー表現論 (modular representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #表現論 の一部として，有限群の
正 #標数 の #体 上での線型表現を研究.

下記PDFの論説を読むとよい.

「#有限群 のモジュラー表現論における予想について」
2013・宇野
https://www.jstage.jst.go.jp/a...
.

#群論の知識

#マシュケの定理 (Maschke's theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限群 の #表現 の
既約表現への分解に関する定理.

・有限群Gの
ある標数0の #体 上の
有限次元表現 (V,ρ) に対し，
任意のG-不変部分空間Uは
G-不変な直和補因子Wを持つ.
つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#群論の知識

有限群の表現 / #マシュケの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#有限群 G の #表現 は
半単純(#完全可約)な性質を持ち，
任意の G-表現 W の部分表現 V が
G-不変な補完表現(compliment)を持つ.

#群論の知識

#指標表 (character table)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ある #群 の全ての #既約表現 の #指標 を
表にまとめたもの.

・ #点群 の指標表は，
化学，結晶学，分光学などにおいて有用.

#群論の知識

#指標群 (character group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #指標 全体の集合がなす #群 が指標群.
・ #有限アーベル群 G の指標全体の集合は
やはり有限アーベル群で，指標群である.

#群論の知識

(#群論 での) #指標 (character)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

①#群 Gから複素数体の乗法群への
#群準同型 を指す.
群G上の乗法的指標，Gの #指標群.

②#ベクトル空間 上の
群Gの #表現 の
#トレース を指す.

#群論の知識

#指標理論 (character theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の #表現 の #指標(character):
#群 の各元に
対応する #行列 の
#トレース を対応させる #写像.
指標は，表現の
本質的な情報を凝縮された形で持つ.

・指標理論は
#有限単純群 の分類において本質的な道具.

#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論の知識

「#群 の #表現論 といっても
#ジョルダン標準形 の話と
ある意味で同じである。

本書第3章の趣旨は，
ジョルダン標準形の理論は
K[T] #加群 の分類に等しい
という事であった。

すなわちそれは，
#モノイド N_0 の表現論なのである。」

(朝倉書店「加群十話」より)

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

#群論の知識

#大直交性定理 (Schur orthogonality relations)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 G の #既約表現 α の
#ユニタリ表現 行列 D^(α) の
行列要素 D^(α)_ij (G) について
その間に成り立つ直交関係のこと.

#シューアの補題 から導かれる.

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#シューアの補題 (Schur's lemma)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#群 の #表現論 で基本的かつ有用な定理.

下記ページの説明が簡潔.
https://ja.wikibooks.org/wiki/...

Schurの補題:
φ : G → GL(V)
ψ : G → GL(W)
を #既約表現 とすると，
G #準同型
f: V → W
は零写像か #同型 写像.

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#既約表現 (きやくひょうげん)
irreducible representation; irrep
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#群 などの表現論において
#表現 ρ:G→GL(V)が #既約 とは
自明でない部分表現を持たないことをいう.

真の非自明な不変部分空間を持つ表現ρは
#可約(reducible)という.

#群論の知識

群の #表現 / #既約表現
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

Gを #群，Tを #線形変換 とし
{ T(g) | g∈G } で不変な
#表現空間 V ≠ {0} の #部分空間 が
Vと {0} の2つ以外に存在しないとき，
表現 (V, T) は #既約 であるという.

既約でない表現を #可約 という.

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#忠実 表現 (faithful representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 G の異なる元 g が
異なる #線形写像 ρ(g) によって #表現 される
線型表現のこと.

・ #群準同型 が #単射 であるということ.

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#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

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群の #表現 (group representation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・抽象的な #群 Gの元gに対し
具体的な #線形空間 Vの
#正則 な #線形変換 としての実現を与える
#準同型写像 π: G→GL(V) のこと.

・群Gから
線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への
準同型写像.