#群論の知識

#指標表 (character table)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ある #群 の全ての #既約表現 の #指標 を
表にまとめたもの.

・ #点群 の指標表は，
化学，結晶学，分光学などにおいて有用.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 51

Q.
#同値関係 として
#左合同 の定義を言い直してみよ

A.
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hbに対し
a ∈ Hb
(ab^{-1} ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #左合同」
と言い
a≡b (mod H) と表記し
この「≡」は #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 50

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#推移律 を満たす事を示せ

A.
#群 Gの3元a,b,cに対し
x=ab^{-1}∈H
y=bc^{-1}∈H
の時
#二項演算 が群H内で #閉じている ので
xy=(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}∈H
∴
a≡b(mod H), b≡c(mod H)なら
a≡c(mod H)

#群論の知識

#指標群 (character group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #指標 全体の集合がなす #群 が指標群.
・ #有限アーベル群 G の指標全体の集合は
やはり有限アーベル群で，指標群である.

#群論入門_剰余類編 47

Q.
#群 Gの2元x, gと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hgに対し
x ∈ Hg の時
xとgの間に
xg^{-1} ∈ H　①
gx^{-1} ∈ H　②
が成り立つ.

①②をまとめて
どう言い表せるか

A.
「群Gの2元x, gが
部分群Hを法として
#左合同 である」と言い
x≡g (mod H)
と表記する.

#群論入門_剰余類編 46

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.

GのHによるgを含む #左剰余類 は
Hg ＝ { hg | h∈H }
である.

Gのある元xが
Hgに属する時
xとgの間に成り立つ関係式を2つ.

A.
x ∈Hg
⇒ xg^{-1} ∈H

また左辺＝yとおくと
Hは群なので
y^{-1}＝gx^{-1} ∈H

#群論入門_剰余類編 45

Q.
#群 Gのある #部分群 H
およびGの #単位元 e について，
GのHによるeを含む #左剰余類 を求めよ.

A.
e を含む左剰余類は
H e
と表記でき，具体的には
H e
＝ { he | h ∈ H }
＝ { h | h ∈ H }
＝H

よって，部分群 H そのものである.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p155より引用:
『#ガロア は，
各 #代数方程式 には
ある #有限群 が対応し
その #方程式 の #根 の性質は
対応する #群 の
#正規部分群 の性質に
依存する事を示した.
正規部分群は
代数方程式の #解 の性質を
決定する基礎を提供.』

#群論入門_剰余類編 44

Q.
Hg という表記で
「GのHによるgを含む #左剰余類」
を表すわけだが…

Hg という集合は
本当に「gを含む」と言えるのだろうか.

A.
#群 の #公理 より，
Gの #部分群 Hは #単位元 eを含む.
よって
Hg ＝ { hg | h ∈ H }
という集合の中に
eg＝gが含まれる.

#群論入門_剰余類編 43

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.

下記の記法で表される集合を
それぞれ何と呼ぶか.

(1)
Hg

(2)
gH

A.
(1)
GのHによるgを含む #左剰余類.

(2)
GのHによるgを含む #右剰余類.

部分群が左右どちらからかかっているかで
左右を呼び分ける.

＜#代数学の参考書＞

「ガロアの夢　群論と微分方程式」
(日本評論社1968久賀)
https://bookmeter.com/books/91...

前書きより引用:
『#線型常微分方程式 を
#群論 的に扱う試みは，
#Riemann によっても試みられた。
Riemannは #Lie の扱ったような
#連続群 ではなく，
#不連続 な #群 を用いた。』

#群論入門_剰余類編 42

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.

下記の記法は
「集合と元の積」
という見かけをしているが
どんな計算を意味するか.

(1)
Hg

(2)
gH

A.
Hの任意の元hに対し…

(1)
hg (∈G) の集合 { hg | h∈H }

(2)
gh (∈G) の集合 { gh | h∈H }

#群論の知識

(#群論 での) #指標 (character)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

①#群 Gから複素数体の乗法群への
#群準同型 を指す.
群G上の乗法的指標，Gの #指標群.

②#ベクトル空間 上の
群Gの #表現 の
#トレース を指す.

＜#代数学の参考書＞

「有限置換群」(裳華房1981大山)

前書きより:
『本書では
#有限集合 における #1対1写像
―#置換 という―についての
基本的な性質を述べたいと思う。
さらに置換の #集合 は
#写像 の #積 により #群
―#置換群 という―をつくり，
#群論 における重要な一部門である。』

#群論入門_剰余類編 41

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群
hはHのある元とする.

hg および
gh という形の演算結果が
Gに属することを示せ

A.
HはGの部分集合なので
Hの元hはGの元でもある.
Gは群だから
G内の #二項演算(元どうしの積)は #閉じている.
よって
hg∈Gかつ
gh∈G

#群論の知識

#指標理論 (character theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の #表現 の #指標(character):
#群 の各元に
対応する #行列 の
#トレース を対応させる #写像.
指標は，表現の
本質的な情報を凝縮された形で持つ.

・指標理論は
#有限単純群 の分類において本質的な道具.

「#抜群」って，群論の用語らしいよ！

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「抜」の読み方はバツ。
バツといったら「×」。
「×」といったら掛け算，乗法。

という事は…

「抜群」とは，「#乗法群」の事だったんだよ！

乗法群 (multiplicative group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
･#乗法 のなす #群

#群論の知識

#類関数(class function)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・中心函数(central function)，中心的な関数とも

・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で)
値が不変となる関数.
#群 G の任意の元s,tに対し
f( s^{-1} t s)＝f(t)

・複素数値の類函数は
#コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論の知識

「#群 の #表現論 といっても
#ジョルダン標準形 の話と
ある意味で同じである。

本書第3章の趣旨は，
ジョルダン標準形の理論は
K[T] #加群 の分類に等しい
という事であった。

すなわちそれは，
#モノイド N_0 の表現論なのである。」

(朝倉書店「加群十話」より)