＜#代数学の参考書＞

シュプリンガー
「古典群　不変式と表現」(2004ワイル)

序文は，下記のように始まっている.

『#1925年 に #私は
E.#カルタン の #無限小 の方法と
Ｉ.#シューア の
#積分 を扱う方法の
手続きとを組み合わせて
#半単純連続群 の #指標 を
#決定 することに成功した.』

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
56 / 96

【微積分#56】演習⑧ ～ #広義積分 ～
https://www.youtube.com/watch?...
16:00

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#フーリエ変換の具体的な計算 24

δ_T (t)の
#複素フーリエ級数展開 の展開係数
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T)
} dt

区間{-T/2→T/2}で #積分 すると
Σの総和の中で
k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので
c_n
=
(1/T){
e^(-j2πn･0/T)
}
=
1/T

#フーリエ変換の具体的な計算 9

t の #指数関数 の #積分 公式:
∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at)

#複素正弦波 e^(－jωt) を
t で積分すると
その指数部分の t の係数 －jω が
分母に落ちてくる.

その結果，
複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ
ωの #sinc関数 が生まれる.

#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
14 / 14

#グリーンの定理 の証明と式の意味と例題！
https://www.youtube.com/watch?...
14:56

#積分 #面積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#確率・統計を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#確率・統計」シリーズ
10 / 23

#ガウス積分 積分のやり方
https://www.youtube.com/watch?...
2:24

#積分
#確率統計 #統計学
#確率 #統計 #大学数学 #数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 42

▶#微分 の #フーリエ変換 は，
フーリエ変換に jω をかけたもの.

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω ℱ[ f(t) ]

▶#積分 のフーリエ変換は，
フーリエ変換を jω で割ったもの.

ℱ[ ∫{－∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1 / jω) ℱ[ f(t) ]

↑
対称な関係ですよね.

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 37

jω ℱ[ f(t) ]
=
jω F(jω)
=
ℱ[ (d/dt) f(t) ]

「#周波数領域 でjωをかける操作は
#時間領域 の #微分 操作と同じ」

では，jωでなく
(1/jω)をかけると…？

微分の逆で
#積分 になる！

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
52 / 96

【微積分#52】#広義積分 の定義
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18:25

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#大学の電磁気学を独学できるYouTube動画

大学攻略!さんによる
「#電磁気学」シリーズ
92 / 93

[電磁気学92]#マクスウェル方程式 ー #積分 系の導出
https://www.youtube.com/watch?...
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#電磁気 #大学物理
#電気 #磁気 #物理 #物理学

#フーリエ変換の性質や諸公式 22

ℱ_t
t軸上の #積分

ℱ_ω
ω軸上の積分

#フーリエ変換 の重ねがけの公式
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)
を使うと…

信号の #積 f(t)･g(t) を
2回フーリエ変換したら，
ℱ_ω[ ℱ_t[ f(t)･g(t) ] ]
=
2π f(－t)･g(－t)
という形になる.

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
51 / 96

【微積分#51】演習⑦ ～ #連続関数 の #積分 ～
https://www.youtube.com/watch?...
21:46

#連続
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

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みつのきチャンネルによる
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13 / 14

#ストークスの定理 の証明と式の意味と例題！
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26:49

#積分 #面積分
#数学 #大学数学 #物理数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 19

前ツイ続き
ℱ[(f*g)(t)]
=
∫{-∞→∞}dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞}dt g(t－τ) e^(－jω{t－τ})
}
内側の #積分 でt－τをtと置換し
=
∫{-∞→∞} dτ f(τ) e^(－jωτ) {
∫{-∞→∞} dt g(t) e^(－jωt)
}
=
ℱ[ f(t) ]･{
ℱ[ g(t) ]
} //

#解析学を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
50 / 96

【微積分#50】#定積分 の性質
https://www.youtube.com/watch?...
18:12

#積分
#解析学 #微分積分
#数学 #大学数学

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 8

f(t)
=
(1/2π)∫{-∞→∞}{
∫{-∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds
･
e^(jωt)
}dω
=
(1/2π)∫{-∞→∞} F(ω) e^(jωt) dω

両辺を2π倍し
tに－tを代入すると
2π f(－t)
=
∫{-∞→∞} F(ω) e^(－jtω) dω
=
ℱ[ F(ω) ]
※このℱはω領域での #積分.

#複素関数論を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#複素関数論」シリーズ
12 / 22

【第１１弾】#グルサの定理
https://www.youtube.com/watch?...
27:12

#複素関数 #グルサー
#積分 #複素積分
#複素解析 #関数論
#数学 #大学数学