#解析力学_Hamilton形式編 21

Q.
#ハミルトン方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
に従う物理量が
#相空間 内で描く軌道は
決して交差しない
と言えるのはなぜか

A.
軌道上の1点(q,p)を指定した時
ハミルトン方程式の左辺から
その1点の時間変化の方向ベクトルが
相空間内でただ一通りに定まるため

#解析力学_Hamilton形式編 11

Q.
1次元調和振動子の運動は
(p,x)の #相空間 内で楕円軌道.
↑
これは，時間tをあえて軸に取らない
#ハミルトン形式 の特徴ですが
そのメリットは？

A.
運動全体の様子が
有限の描画範囲内に収まれば，
運動の「構造」を定性的に把握しやすい.

※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 9

Q.
1次元調和振動子は
#相空間 上でどんな軌道を描くか

A.
粒子の位置を x
運動量を p とすると
#位相空間 上の点は (x,p) で表される.

#ハミルトニアン は
H＝(p^2)/2m＋(kx^2)/2
なので
エネルギーが一定の条件下で振動する場合
相空間上で描く軌跡は楕円.

#解析力学_Hamilton形式編 8

Q.
物理学で #相空間(#位相空間)とは

A.
phase space
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

力学系の位置qと運動量pを
座標(直交軸)とする空間.

数学の位相空間(topological space)とは別物.

#ハミルトン形式 では
物理量は #正準変数 q,pの関数で
相空間上で軌道を描く.

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(2021浅田)

p153より:
『#三体問題 を #求積法 で
#解く ためには
(#相空間 が #18次元 なので)
17個の互いに #独立 な
#運動の定数 を
見出さなければならない.
しかし #19世紀 までかけて
12個分しか消去できず
#求積法 は使えない.』

量子態的相空間正性——量子力學中的一個基礎性挑戰——現在可以完全通過胡西米函數的局部導數來表徵，這些導數組織成微分層級。這橋接了量子幾何與可積動力學。

#量子幾何 #相空間 #量子信息

＜#解析力学の参考書＞

「コマの幾何学 ― 可積分系講義」
(共立出版2000Audin)
https://www.kinokuniya.co.jp/f...

『#因子，#微分形式，
#テータ函数 などの
#代数幾何学 的な対象を
#巧妙 に用いながら，
#運動 の様子や
#相空間 の #幾何学 を
明らかにしてゆく。』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005)

p6より:
『#相空間 で
#物理量 の #時間発展
F(t,x)＝f( T_t x )
は，#方程式
∂F/∂t＝(F, H)
を満たす.
(･,･) は #ポアソンの括弧式.
#有限自由度 かつ
#非相対論的 な #量子力学 は，
#ハミルトン力学系 に
似た #構造 をもつ.』

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 において
#運動の定数 という #条件 が1つあれば，
2N #次元 の
#位相空間(#相空間)内で
#物体 の #状態(#軌道)の
#存在 できる #領域 が #制限 される.
すなわち
2N-1次元の領域に制限される.』

#解析力学_保存量と対称性編 16

Q.
リウヴィル=アーノルドの定理とは.

A.
Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

独立な #第一積分 の組が
#包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能.

#正準変数 として #作用・角変数 を取れて
#相空間 での軌道はトーラス.

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005)

p6より:
『#相空間 で
#物理量 の #時間発展
F(t,x)＝f( T_t x )
は，#方程式
∂F/∂t＝(F, H)
を満たす.
(･,･) は #ポアソンの括弧式.
#有限自由度 かつ
#非相対論的 な #量子力学 は，
#ハミルトン力学系 に
似た #構造 をもつ.』