#群論入門_剰余類編 87

Q.
#有限群 において
#部分群 の #指数 が
大きい・小さいとは
どういうことか

A.
|G:H| ＝ |G| / |H|
部分群よりもとの #群 は何倍大きいか.

指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ.
指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ.
指数が大きければ部分群は小さい.

#群論入門_剰余類編 85

Q.
#有限群 G が
#部分群 H をもつ時，
H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは.

A.
#ラグランジュの定理 より
(Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数)
なので，

「Hの位数も
Hの指数も，
Gの位数の約数でなければならない」

という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81

Q.
#群論 における #ラグランジュの定理 とは.

A.
#有限群 G が
#部分群 H を持ち
群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時，
群 G の #位数 が
部分群 H の指数および位数を使って
|G| ＝ |G:H| |H|
と表せることをいう.

#群論入門_剰余類編 80

Q.
#有限群 G の元 g と
G の #部分群 H に対し
| H g | ＝ | H | を示せ.

A.
Hの相異なる2元 h_1, h_2 から
Hg の元
s＝h_1 g
t＝h_2 g
を作る.
仮にs＝tとすると
#群 の #簡約法則 より
h_1 g ＝ h_2 g
⇒ h_1＝h_2となり矛盾.
∴Hg内に|H|個の異なる元をとれる.

#群論入門_剰余類編 79

Q.
部分群の #指数 とは.

A.
#有限群 G の #部分群 H による…
・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数
・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数
は互いに等しく，
その数を
群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ.

|G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hによる
#左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を
整理すると.

A.
左分解が
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　①
ならば
右分解は
G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　②
で与えられ，
①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論の知識

#モジュラー表現論 (modular representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #表現論 の一部として，有限群の
正 #標数 の #体 上での線型表現を研究.

下記PDFの論説を読むとよい.

「#有限群 のモジュラー表現論における予想について」
2013・宇野
https://www.jstage.jst.go.jp/a...
.

#群論入門_剰余類編 77

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hがある時
GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数
＝
GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数
を示せ.

A.
ある左剰余類Hxがある時
Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを
ただ1つ作ることができ
逆も真.
よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論の知識

#マシュケの定理 (Maschke's theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限群 の #表現 の
既約表現への分解に関する定理.

・有限群Gの
ある標数0の #体 上の
有限次元表現 (V,ρ) に対し，
任意のG-不変部分空間Uは
G-不変な直和補因子Wを持つ.
つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#群論の知識

有限群の表現 / #マシュケの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#有限群 G の #表現 は
半単純(#完全可約)な性質を持ち，
任意の G-表現 W の部分表現 V が
G-不変な補完表現(compliment)を持つ.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p155より引用:
『#ガロア は，
各 #代数方程式 には
ある #有限群 が対応し
その #方程式 の #根 の性質は
対応する #群 の
#正規部分群 の性質に
依存する事を示した.
正規部分群は
代数方程式の #解 の性質を
決定する基礎を提供.』

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
129

#群論：#有限群 の #巡回性
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論」(2015江口・菅原)

前書きより:
『#共形代数 の #表現論 と
#保型形式 の理論，
そして
巨大な #位数 を持った
#有限群 との間の
#ミステリアス な関係である
#ムーンシャイン と呼ばれる現象に
新しい #発展 があり，
本書の最後の部分で紹介したい.』

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論入門_正規部分群編 39

2つの #交換子 の積が
交換子とならない
最小位数の #有限群 は #位数 96.

その証明論文:
Commutators and Commutator Subgroups
ROBERT M. GURALNICK (1982)
https://core.ac.uk/download/pd...
"Here it is shown that the smallest groups G
... are of order 96. "

#群論入門_正規部分群編 37

交換子全体の集合が
積(#二項演算)について閉じていない件
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

引用：
「#交換子 2つ以上の積は
必ずしも交換子とは限らない.

2つの交換子の積が交換子とならない
最小 #位数 の #有限群 は，
位数 96 であることが知られている.」

#群論入門_正規部分群編 29

#有限群 のページに
「有限群は必ず組成列を持つ」との記載：
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"「有限 #単純群 の完全な分類」
という目標は達成された。
つまり
任意の有限群の「組み立て部品」は
現在では完全に知られている。
(任意の有限群は #組成列 を持つ)"

#巡回群とは 68

有限生成群 (finitely generated group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・有限部分集合 S を #生成系 とする #群 G のこと.

・任意の #有限群 G は #有限生成 である.

・しかし，有限生成群の #部分群 は
必ずしも有限生成とは限らない.