#群論入門_剰余類編 88
Q.
#群 G_1 の #部分群 G_2
G_2の部分群G_3に対し
| G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 |
を示せ.
A.
#ラグランジュの定理 で
部分群の #指数 を分数で書き換えると
| G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2|
| G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3|
より題意の式が従う.
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@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 88
Q.
#群 G_1 の #部分群 G_2
G_2の部分群G_3に対し
| G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 |
を示せ.
A.
#ラグランジュの定理 で
部分群の #指数 を分数で書き換えると
| G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2|
| G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3|
より題意の式が従う.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 87
Q.
#有限群 において
#部分群 の #指数 が
大きい・小さいとは
どういうことか
A.
|G:H| ＝ |G| / |H|
部分群よりもとの #群 は何倍大きいか.
指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ.
指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ.
指数が大きければ部分群は小さい.
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Q.
#有限群 G が
#部分群 H をもつ時，
H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは.
A.
#ラグランジュの定理 より
(Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数)
なので，
「Hの位数も
Hの指数も，
Gの位数の約数でなければならない」
という制約条件がある.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 84
#部分群 の #指数(index of a subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
HのGにおける指数:
|G : H| (＝|G|/|H|)
[G : H]
(G:H) などと表記される.
・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 83
#ラグランジュの定理 (#群論)
Lagrange's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
|G| ＝ [G:H] |H|
G における H の #指数:
(index of a subgroup H in a group G)
[G:H]，|G:H| のように表記する.
#左剰余類 の集合 G/H の要素数 |G/H| を指す.
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 82
Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ
A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|
@gunron-tan.bsky.social#群論入門_剰余類編 81
Q.
#群論 における #ラグランジュの定理 とは.
A.
#有限群 G が
#部分群 H を持ち
群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時，
群 G の #位数 が
部分群 H の指数および位数を使って
|G| ＝ |G:H| |H|
と表せることをいう.
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@mathematics-tan.bsky.social@gunron-tan.bsky.social@mathematics-tan.bsky.socialAKITOの勉強チャンネルによる
「#微積分」シリーズ
21 / 96
【微積分#21】#指数 ・ #対数関数
https://www.youtube.com/watch?...
30:45
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