カーレマン線形化を用いた高次元非線形確率微分方程式を解くための量子アルゴリズムを開発し、次元におけるポリログ対数的クエリ複雑性および切り取り順による指数関数的誤差減衰を実現する。

#量子アルゴリズム #微分方程式 #研究

#シュレディンガー方程式の導出 44

#シュレディンガー方程式
{－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX
に

∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ)
を代入すれば

#極座標系 ( r，θ，φ ) の
#微分方程式 になる！！

＜#物理数学の参考書＞

「共形場理論入門」(培風館2006山田)

p168より引用:
『#ミニマル模型 や
#WZW模型 の例において，
#primary場 の #相関関数 は
ある #微分方程式 を満たし，
これらの解は #多価関数 となる。
この #多価性 を記述する
#モノドロミー について考察する。』

#シュレディンガー方程式の導出 42

{
－(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ]
－e^2 / 4πε_0 r
} X
＝
E X
↑
この左辺は
① x，y，zで書かれた #直交座標 と
② r で書かれた #極座標
が混在しているため
このままでは #微分方程式 を解けない.

①②どちらに統一するか？

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
9 / 24

【第八弾】#積分因子 の #完全微分方程式 の解き方！
https://www.youtube.com/watch?...
21:01

#完全微分
#数学 #大学数学 #微積分

#シュレディンガー方程式の導出 35

▶#電子 の運動に関する
時間非依存の #シュレディンガー方程式:
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x)

▶#運動量 演算子:
p = ±i ℏ (d/dx)

ここからは，上記の式を
#水素原子 の電子に当てはめ
具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#フーリエ変換の性質や諸公式 35

▶#1階微分 の場合:
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω･ℱ[ f(t) ]

▶#n階微分 に拡張:
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ]
=
{ (jω)^n }･ℱ[ f(t) ]

#n階 の #微分演算子 は
#周波数 ωのn乗に置き換えられる。
#微分方程式 は，単にωのn次式になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 30

#微分方程式 を解く時に便利な
#フーリエ変換 の性質…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
=
jω F( jω )

↑
「#微分 のフーリエ変換は
フーリエ変換の #周波数 倍」

#微分演算子 をjωに置き換えられるので
微分方程式が
ωの #代数方程式 になる！

＜#解析力学の参考書＞

岩波講座 現代数学への入門
「解析力学と微分形式」(岩波書店1996)
https://amazon.co.jp/dp/400010...

前書きより
『"#多様体論" として学ぶと
#抽象的 に見える事柄が，
"#微分方程式 を
#変数変換 して #解く" ための
重要な #手法 である事を
理解して頂けたら幸いである』

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
8 / 24

【第七弾】#完全微分方程式 の解き方！2パターン紹介！
https://www.youtube.com/watch?...
20:22

#完全微分
#数学 #大学数学 #微積分

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 50

#フーリエ変換 の応用
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・「最も重要なフーリエ変換の使用例は
#偏微分方程式 の解を求めること」

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・フーリエ変換と #微分作用素 は #両立 するので
#微分方程式 を
#代数方程式 に書き換えることができる.

#量子力学を独学できるYouTube動画

F棟さんによる
「#量子力学」シリーズ
6 / 22

【量子力学】#調和振動子（#微分方程式）②
https://www.youtube.com/watch?...
16:07

#量子 #量子物理学 #量子論
#大学物理 #物理 #物理学

＜#代数学の参考書＞

「群と物理」(丸善1992佐藤)

前書きより引用:
『#物理 では
#ニュートンの運動方程式 に始まる
#微分方程式 による
#解析的 な方法が
よく知られているが，
#群論 のような
#代数的，#幾何的 な
ものの見方も大切で
現在では #物理数学 の重要な一分野。』

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
7 / 24

【第六弾】#リッカチ の微分方程式の解き方！
https://www.youtube.com/watch?...
15:06

#リッカチ型
#数学 #大学数学 #微積分

#量子力学を独学できるYouTube動画

F棟さんによる
「#量子力学」シリーズ
5 / 22

【量子力学】#調和振動子（#微分方程式）①
https://www.youtube.com/watch?...
11:23

#量子 #量子物理学 #量子論
#大学物理 #物理 #物理学

＜#代数学の参考書＞

「ガロアの夢　群論と微分方程式」
(日本評論社1968久賀)

前書きより引用:
『#線型常微分方程式 の
場合を含む
ある #特殊 な #型 の
#微分方程式 に対しては
十分 #成功 したものの，
#Lie 自身が
はじめに #想定 した形の
#理論 からは
#ほど遠い ように思われる。』

#シュレディンガー方程式の導出 5

問題:

水平にx軸を取り
両側の壁に水平に固定された弦がある時，
弦をつまんで持ち上げ手を離すと
弦全体はどんな運動をするか？

位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし
u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt
なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
6 / 24

【第五弾】#ベルヌーイ の微分方程式の解き方！
https://www.youtube.com/watch?...
10:08

#ベルヌーイ型
#数学 #大学数学 #微積分

＜#物理数学の参考書＞

復刊「特殊函数」(朝倉書店1967～2004小松)

前書きより:
『#特殊函数 は，
#解析函数 や #微分方程式 の
#理論 とその #応用 との間の
#橋渡し をする立場にある.
理論の #成果 を
応用という面を通して
#具現 するとともに
逆に #一般的 理論への
素材を提供する.』