#群論入門_剰余類編 83

#ラグランジュの定理 (#群論)
Lagrange's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
|G| ＝ [G:H] |H|

G における H の #指数:
(index of a subgroup H in a group G)
[G:H]，|G:H| のように表記する.
#左剰余類 の集合 G/H の要素数 |G/H| を指す.

#群論入門_剰余類編 79

Q.
部分群の #指数 とは.

A.
#有限群 G の #部分群 H による…
・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数
・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数
は互いに等しく，
その数を
群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ.

|G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 77

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hがある時
GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数
＝
GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数
を示せ.

A.
ある左剰余類Hxがある時
Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを
ただ1つ作ることができ
逆も真.
よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 76

Q.
群Gの部分群Hによる左分解における
#左剰余類 H x_i から
#右剰余類 (x_i)^{-1} Hを作る時，
{(x_i)^{-1}H}が
Gの #右分解 を与える事を示せ.

A.
(x_i)^{-1}H同士は共通元を持たず
∅でなく
Gの任意の元がいずれかの(x_i)^{-1} Hに属し
Gを過不足なく #類別 する.

#群論入門_剰余類編 75

Q.
群Gの部分群Hによる左分解での
#左剰余類 Hs, Htから作られた
#右剰余類 s^{-1}H, t^{-1}Hについて
s≠t ならば
s^{-1}H ≠ t^{-1}H を示せ.

A.
前ツイより
s^{-1}H ∩ t^{-1}H ≠ ∅
ならば
Hs＝Ht かつ s＝t.

対偶を取り
s≠t ならば
s^{-1}H ∩ t^{-1}H ＝ ∅

#群論入門_剰余類編 74

Q.
群Gの部分群Hによる左分解での
#左剰余類 Hyから作られる
#右剰余類 y^{-1}Hたちが
共通元を持ちうるか?

A.
左剰余類Hs,Ht
から作った右剰余類
s^{-1}H∩t^{-1}H
＝s^{-1}h_1
＝t^{-1}h_2
(h_1, h_2∈H)
ならば
t＝h_2 (h_1)^{-1}s∈Hs
∴tとsは #左合同 でHs＝Ht

#群論入門_剰余類編 73

#群 Gの元x,yと
Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
xが属する #左剰余類 をHyとすれば
x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである.

このように
左剰余類Hyをもとに
右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時，
つくられた右剰余類の集合は
Gの #右分解 になるだろうか?

#群論入門_剰余類編 72

Q.
#群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
#類別 の性質より
Gの任意の元は
Hによるいずれかの #左剰余類 に属する.
この時
Gの任意の元は
Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ

A.
前ツイより
x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H
∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 71

Q.
#群 G のある2元 x, y と
Gの #部分群 H に対し，
Gの #左剰余類 H y があって
x ∈ H y である場合，
x^{-1} ∈ G は
Gのいかなる #右剰余類 に属するか?

A.
x ∈ H y ＝ { h y | h ∈ H }
ならば
x^{-1} ∈ ( H y )^{-1}
＝y^{-1} H^{-1}
＝y^{-1} H.

#群論入門_剰余類編 62

Q.
#右代表系 とは.

A.
#左剰余類 の #左代表系 の場合と同じく，
#群 Gの
#部分群 Hによる #右分解
G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ …
における
全・右剰余類の
#完全代表系
{ b_1, b_2, … } のことを
右代表系という.

#群論入門_剰余類編 61

Q.
#左代表系 とは.

A.
#群 Gの
#部分群 Hによる #左分解
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
における
{ a_1, a_2, … } のこと.

各 #左剰余類 H a_i ごとに
その #類 の #代表元 a_i を
任意に選んだものの集合が
全ての左剰余類の
#完全代表系 をなし
左代表系という.

#群論入門_剰余類編 58

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 56

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解 とは.

A.
G の H による #左剰余類 を
H a_1,
H a_2,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
を，
G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 55

Q
#群 Gの2元a,bと
#部分群 Hに対し
#左合同 と #右合同 を言い直すと

A
同じ #左剰余類 に属すれば左合同.
a∈Hb
(ab^{-1}∈H)なら
aもbも
Hbという左剰余類に属する.

同じ #右剰余類 に属すれば右合同.
a∈bH
(b^{-1}a∈H)なら
aもbも
bHという右剰余類に属する.

#群論入門_剰余類編 54

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 51

Q.
#同値関係 として
#左合同 の定義を言い直してみよ

A.
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hbに対し
a ∈ Hb
(ab^{-1} ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #左合同」
と言い
a≡b (mod H) と表記し
この「≡」は #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 47

Q.
#群 Gの2元x, gと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hgに対し
x ∈ Hg の時
xとgの間に
xg^{-1} ∈ H　①
gx^{-1} ∈ H　②
が成り立つ.

①②をまとめて
どう言い表せるか

A.
「群Gの2元x, gが
部分群Hを法として
#左合同 である」と言い
x≡g (mod H)
と表記する.

#群論入門_剰余類編 46

Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.

GのHによるgを含む #左剰余類 は
Hg ＝ { hg | h∈H }
である.

Gのある元xが
Hgに属する時
xとgの間に成り立つ関係式を2つ.

A.
x ∈Hg
⇒ xg^{-1} ∈H

また左辺＝yとおくと
Hは群なので
y^{-1}＝gx^{-1} ∈H