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AKITOの勉強チャンネルによる
「#代数学」シリーズ
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【代数学♯10】#同値関係
https://www.youtube.com/watch?...
32:02

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 51

Q.
#同値関係 として
#左合同 の定義を言い直してみよ

A.
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hbに対し
a ∈ Hb
(ab^{-1} ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #左合同」
と言い
a≡b (mod H) と表記し
この「≡」は #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 40

Q.

(1)
集合X内に
何らかの #同値関係 が存在する

(2)
集合Xを #類 で #類別(#分割)できる

(1)⇔(2) を示せ.

A.
1⇒2:
同値関係があれば
#同値類 で類別できる事を証明済.

2⇒1:
類別がある時
同じ類に属する事を #同値 とみなせば
同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 39

Q.
集合Xのある #分割(#類別)において
「aとbは同じ #類 に属する」という
#同値関係「a～b」を定める際
「～」が
#同値律 の3定義を満たす事を示せ

A.
元a,bが類Cに属する時
a～a
a～b⇒b～a
a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c
∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 36

Q.
#同値分割 における
#商集合 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
を使い
X＝C_{a_1}＋C_{a_2}＋…
という #同値分割 を考える時，
この同値類の集合
{ C_{a_1}, C_{a_2}, … }
を
Xの「～」による商集合という.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 30

#同値類 (equivalence class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"ある集合 S の元が
#同値関係 として定式化される
#同値 の概念を持つとき，
集合 S を同値類たちに
自然に #分割 できる."

#群論入門_剰余類編 29

Q.
#同値類 とは.

A.
集合 X 内で，
X のある1つの元 a と
互いに #同値関係 にある全ての元の集合を
a の同値類と呼び
C_a のように表記する.
C_a ＝ { x | x∈X, x～a }
※Cはclassの意

a と #同値 な元の集まりであり，
#反射律 により
a 自身を含む.

#群論入門_剰余類編 27

Q.
なんでわざわざ
「#同値律 を満たす」と言うの?
「#同値関係 である」で済むじゃん！

A.
数学の論理で
「同値関係にある」は
「2つのものが必要十分条件の関係性にある」
の意.

それと紛らわしいので，
#二項関係 の場合
「同値律を満たす」と言って区別する.

#群論入門_剰余類編 26

Q.
#同値律 や #同値関係 の観点から言って
「#同値」とは何か.

A.
同値関係にある2つの要素同士を
互いに同値であるという.

同値律の3つの関係式を満たせば，
互いに同値関係にあり，
互いに同値である.

#群論入門_剰余類編 25

Q.
#同値律 とは.

A.
#同値関係 の定義に現れる
3つの関係式のこと.

#反射律，
#対称律，
#推移律(移動律)
をまとめていう.

英語では
reflexive,
symmetric,
transitive
の3セット.

#群論入門_剰余類編 24

Q.
#二項関係「≠」を
「実数として値が異なる」
という意味で用いる場合
#同値関係 の定義式の
#推移律 を満たすか?

A.
実数a,b,cに対し
a≠b かつ
b≠c の時
a≠cとは限らない.
よって推移律は成り立たない.

「a≠b≠c」と書いた時に
「a≠c」とは言えない.

#群論入門_剰余類編 22

Q.
#同値関係 を表す際
a～b や
aRb などの記号を使うようですが
Rって何ぞ

A.
Relation の頭文字 R でしょう.

同値関係の3つの定義式を
満たすような関係性であれば
何でもかまわないので，
とりあえず一般的・抽象的に
「関係(Relation)」とおいているのです.

#群論入門_剰余類編 21

Q.
#同値関係 の定義
記憶しづらい.

A.
#二項関係 の対象(＝登場人物)
となる元の個数が各々
1個，2個，3個である事に注目するとよい.

(1) #反射律
a～a
元はaの1個

(2) #対称律
a～b⇒b～a
元はa,bの2個

(3) #推移律
a～b, b～c⇒a～c
元はa,b,cの3個

#群論入門_剰余類編 20

Q.
#同値関係 の(3)「#推移律」
どういう意味か

A.
推移関係 (transitive relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある3元 a, b, c と
ある #二項関係 R について，
a と b に R が成り立ち
b と c に R が成り立つ時
a と c にも R が成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 19

Q.
#同値関係 の(2)「#対称律」
どういう意味か

A.
対称関係 (symmetric relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある2元 a, b と
ある #二項関係 R について，
aRb が成り立つなら
bRa も成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 18

Q.
#同値関係 の「#反射律」が
成り立たないような #二項関係 の例は？

A.
例えば，不等号「＞」について
a＞aは成り立たないので
二項関係「＞」は反射律を満たさない。

反射律を満たさないので，
「＞」は同値関係ではない。

#群論入門_剰余類編 17

Q.
#同値関係 の(1)「#反射律」
どういう意味か

A.

反射関係 (reflexive relation)，
反射性 (reflexivity)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある元 a と
ある #二項関係 R について，
aが自分自身とRの関係にあるということ.
aRa

対義語は
無反射性 (irreflexivity)