#群論入門_剰余類編 58

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 54

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 51

Q.
#同値関係 として
#左合同 の定義を言い直してみよ

A.
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hbに対し
a ∈ Hb
(ab^{-1} ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #左合同」
と言い
a≡b (mod H) と表記し
この「≡」は #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 50

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#推移律 を満たす事を示せ

A.
#群 Gの3元a,b,cに対し
x=ab^{-1}∈H
y=bc^{-1}∈H
の時
#二項演算 が群H内で #閉じている ので
xy=(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}∈H
∴
a≡b(mod H), b≡c(mod H)なら
a≡c(mod H)

#群論入門_剰余類編 49

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#対称律 を満たす事を示せ.

A.
(既に示してあるが再掲)
#逆元 の存在に関する群の #公理 より
ab^{-1} ∈ H　ならば
(ab^{-1})^{-1} ∈ H　であり
ba^{-1} ∈ H.
よって
a≡b (mod H)ならば
b≡a (mod H).

#群論入門_剰余類編 48

Q.
Gの #部分群 Hに対し
ab^{-1} ∈ H
の時
「aとbはHを法として #左合同」.

左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#反射律 を満たす事を示せ.

A.
Hは群なので #単位元 を持ち
aa^{-1}＝e ∈ H
より
任意のGの元aは
a自身と左合同.
a≡a (mod H)

#群論入門_剰余類編 39

Q.
集合Xのある #分割(#類別)において
「aとbは同じ #類 に属する」という
#同値関係「a～b」を定める際
「～」が
#同値律 の3定義を満たす事を示せ

A.
元a,bが類Cに属する時
a～a
a～b⇒b～a
a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c
∴「～」は同値律の3定義を満たす.

#群論入門_剰余類編 35

Q.
「集合は #同値類 によって #類別 できる」
かみ砕いて言い換えると

A.
ある #二項関係 がある時
その二項関係が #同値律 の3定義を満たしていれば
その二項関係を使って
集合を #同値類 にわけることができ
それらの同値類で
もとの集合を過不足なく分割できる.

#群論入門_剰余類編 27

Q.
なんでわざわざ
「#同値律 を満たす」と言うの?
「#同値関係 である」で済むじゃん！

A.
数学の論理で
「同値関係にある」は
「2つのものが必要十分条件の関係性にある」
の意.

それと紛らわしいので，
#二項関係 の場合
「同値律を満たす」と言って区別する.

#群論入門_剰余類編 26

Q.
#同値律 や #同値関係 の観点から言って
「#同値」とは何か.

A.
同値関係にある2つの要素同士を
互いに同値であるという.

同値律の3つの関係式を満たせば，
互いに同値関係にあり，
互いに同値である.

#群論入門_剰余類編 25

Q.
#同値律 とは.

A.
#同値関係 の定義に現れる
3つの関係式のこと.

#反射律，
#対称律，
#推移律(移動律)
をまとめていう.

英語では
reflexive,
symmetric,
transitive
の3セット.