#群論入門_剰余類編 59

Q.
#群 G の
#部分群 H による #右分解 とは.

A.
#左分解 の時と同じく
G の H による #右剰余類 を
b_1 H,
b_2 H,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ …
を
G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 56

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解 とは.

A.
G の H による #左剰余類 を
H a_1,
H a_2,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
を，
G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 38

https://en.wikipedia.org/wiki/...

This partition—the set of equivalence classes—is called the quotient set or the quotient space of S by ～
and is denoted by S / ～ .

#同値分割 に用いる #同値類 の集合は
Sの～による #商集合(商空間)と呼ばれ，
S/～ と書く.

#群論入門_剰余類編 37

Q.
集合 X を
#二項関係「～」による #同値類 で #類別 し
#同値分割 をつくる時，
#商集合 をどのような記号で表記するか

A.
"Xの「～」による商集合" を
X / ～
と表記する.

これは #同値類 の集合だから
X / ～ ＝ { C_{x} | x∈X }
と書ける.

#群論入門_剰余類編 36

Q.
#同値分割 における
#商集合 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
を使い
X＝C_{a_1}＋C_{a_2}＋…
という #同値分割 を考える時，
この同値類の集合
{ C_{a_1}, C_{a_2}, … }
を
Xの「～」による商集合という.

#群論入門_剰余類編 34

Q.
#同値分割 とは.

A.
#同値関係「～」に基づく
集合X内の異なる #同値類
C_{a_1}, C_{a_2}, …
がある時，
X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ …
という #類別(#分割)を
#二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ.

この類別における #類 は
各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理