#群論入門_剰余類編 79
Q.
部分群の #指数 とは.
A.
#有限群 G の #部分群 H による…
・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数
・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数
は互いに等しく，
その数を
群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ.
|G:H| と表記する.
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Q.
群Gの部分群Hによる左分解における
#左剰余類 H x_i から
#右剰余類 (x_i)^{-1} Hを作る時，
{(x_i)^{-1}H}が
Gの #右分解 を与える事を示せ.
A.
(x_i)^{-1}H同士は共通元を持たず
∅でなく
Gの任意の元がいずれかの(x_i)^{-1} Hに属し
Gを過不足なく #類別 する.
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Q.
群Gの部分群Hによる左分解での
#左剰余類 Hs, Htから作られた
#右剰余類 s^{-1}H, t^{-1}Hについて
s≠t ならば
s^{-1}H ≠ t^{-1}H を示せ.
A.
前ツイより
s^{-1}H ∩ t^{-1}H ≠ ∅
ならば
Hs＝Ht かつ s＝t.
対偶を取り
s≠t ならば
s^{-1}H ∩ t^{-1}H ＝ ∅
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Q.
群Gの部分群Hによる左分解での
#左剰余類 Hyから作られる
#右剰余類 y^{-1}Hたちが
共通元を持ちうるか?
A.
左剰余類Hs,Ht
から作った右剰余類
s^{-1}H∩t^{-1}H
＝s^{-1}h_1
＝t^{-1}h_2
(h_1, h_2∈H)
ならば
t＝h_2 (h_1)^{-1}s∈Hs
∴tとsは #左合同 でHs＝Ht
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Q.
#群 G のある2元 x, y と
Gの #部分群 H に対し，
Gの #左剰余類 H y があって
x ∈ H y である場合，
x^{-1} ∈ G は
Gのいかなる #右剰余類 に属するか?
A.
x ∈ H y ＝ { h y | h ∈ H }
ならば
x^{-1} ∈ ( H y )^{-1}
＝y^{-1} H^{-1}
＝y^{-1} H.
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Q.
Gを #群
gはGのある元
HをGのある #部分群 とする.
下記の記法で表される集合を
それぞれ何と呼ぶか.
(1)
Hg
(2)
gH
A.
(1)
GのHによるgを含む #左剰余類.
(2)
GのHによるgを含む #右剰余類.
部分群が左右どちらからかかっているかで
左右を呼び分ける.
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