#群論入門_剰余類編 98

英語名称の復習・続

#同値関係 equivalence relation
#同値 である equivalent
#同値律 equivalence law

#同値類 equivalence class

#商集合 quotient set
#商空間 quotient space

#剰余類 residue class
#傍系 coset
#剰余類 に分解する事 coset decomposition

#群論入門_剰余類編 84

#部分群 の #指数(index of a subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

HのGにおける指数:
|G : H| (＝|G|/|H|)
[G : H]
(G:H) などと表記される.

・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』

・NがGの #正規部分群 なら
|G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 64

https://en.wikipedia.org/wiki/...
A set of representatives of all the cosets is called a transversal.
#剰余類 の #代表元 を全部集めた集合は
#左代表系 や #右代表系 と呼ばれる.

※transversalという英単語の意味…
https://eow.alc.co.jp/search?q...
「横断」を指す.

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)
https://www.amazon.co.jp/dp/08...

p163より
『#エバリスト･#ガロア は，
「#群 Gの
#正規部分群 Kに関する
#剰余類 の #全体 が
1つの群をつくる事」を
#最初 に示した人である.
この群は，我々が
#因子群(#剰余群)
G/K と呼ぶもの.』

#群論入門_剰余類編 60

Coset Decomposition
(#剰余類 に分解すること)
https://www.emathzone.com/tuto...

・right coset decomposition(#右分解):
The set of all right cosets of H in G
gives a partition(#分割) of G.

・left coset decomposition(#左分解)

#群論入門_正規部分群編 62

#群論 を学びはじめて
最初につまずくポイントになりやすいのが
「#剰余類」(および #剰余群)という概念.

このタグの連ツイでは，
そのつまずきポイントである
「剰余類」を持ち出さず，
かわりに「#交換子群列」を使って
#可解群 の概念を定義した.

#群論入門_正規部分群編 61

「5次方程式に #解の公式 が無い事」の
要になる概念が #可解群.

本来，可解群の導入には
① #対称群，#交代群
② #同値類，#剰余類
③ #剰余群
などの説明を要するが…

このタグの連ツイでは
①②③のいずれもふれず，
「#可解」を最短で
導入・解説してみた.

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
12 / 16

群論10 #剰余群 〜 #正規部分群 を使って #剰余類 の #群 をつくろう〜
https://www.youtube.com/watch?...
14:12

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
10 / 16

群論08 #剰余類 の演算定義
〜well-defined、#正規部分群 〜
https://www.youtube.com/watch?...
15:06

#WellDefined #well_defined
#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
9 / 16

群論07 #対称群 S3の #剰余類
〜 #類別 の具体計算，
#代表元 が取替できること〜
https://www.youtube.com/watch?...
32:49

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
8 / 16

群論06 #剰余類 〜 #ラグランジュの定理 ・ #フェルマーの小定理 〜
https://www.youtube.com/watch?...
36:18

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

＜#代数学の参考書＞

「図解と実例と論理で
今度こそわかるガロア理論」
(SBクリエイティブ2017)
https://www.amazon.co.jp/dp/47...

1～5章(方程式論と群論入門)は雑学書風。

5章の #剰余類 と #剰余群 のあたりで，
雑学書としてのスタイルでは
もはやしっかり論理的な説明ができなくなっている。

#代数学を独学できるYouTube動画

ヨビノリによる
「#代数学」シリーズ
6 / 10

【#大学数学】#群論 入門⑥#剰余類
https://www.youtube.com/watch?...
37:34

#代数 #抽象代数学 #数学