#群論の知識

#マシュケの定理 (Maschke's theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #有限群 の #表現 の
既約表現への分解に関する定理.

・有限群Gの
ある標数0の #体 上の
有限次元表現 (V,ρ) に対し，
任意のG-不変部分空間Uは
G-不変な直和補因子Wを持つ.
つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#代数学の知識

#有限拡大 (finite extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

次数有限の #体 の #拡大.
(これはつねに #代数拡大 となる.)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
152

（特別編）#多項式環 の #剰余環 が #体 になる条件
https://www.youtube.com/watch?...

#環論 #体論 #多項式
#代数 #代数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
150

#群論：19元 #体 上の #一般線型群
https://www.youtube.com/watch?...

#一般線形群
#代数 #代数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
149

（特別編）ある要素が #生成 する #体
https://www.youtube.com/watch?...

#体論
#代数 #代数学

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
145

（特別編）#素数 個の要素をもつ #体 の構成
https://www.youtube.com/watch?...

#体論
#代数 #代数学

#代数学の知識

#分離拡大 (separable extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #体 の #代数拡大 E⊃Fで
全てのα∈Eに対し
αのF上 #最小多項式 が
#分離多項式 である(相異なる根をもつ)ようなもの.

・有限次体 #拡大 が
#ガロア拡大 である事と
#正規拡大 かつ #分離拡大 である事は同値.

#群論の知識

「#表現論 は，
Gが #無限群 のときは
#リー群 や代数群の連続表現を除いて，
ほとんど手がついていないほど難しい。

また #有限群 の場合でも，
#体 Kの #標数 が0でないときは
なかなかの困難を見せており…」

(朝倉書店「加群十話」1988年)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
130

#体論：#正標数 の #体 上のある #多項式 の #ガロア群(お詫び・訂正版)
https://www.youtube.com/watch?...

#群論 #標数
#代数 #代数学

#代数学の知識

#正規拡大 (normal extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 の #代数拡大 L/K について，
「L に根を持つような
K[X] の全ての #既約多項式 が
L に根をすべて持つ」時
(L[X] において一次式に分解する時)
#拡大 L/K は正規拡大であるという.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
119

#体論：#標数 pの #体 のp次 #拡大
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学の知識

#代数拡大 (algebraic extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#体 の #拡大 L/K について
「L の全ての元が K 上 #代数的」…★
であれば，
拡大 L/K を代数拡大という.

★は
「L の全ての元が
K 係数の
ある0でない多項式の根である」ということ.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
110

#体論：#体 の2次 #拡大 の #行列 による #実現
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#代数学の知識

#体 の #拡大 (field extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#可換体 の組 K, k が与えられた時
体の拡大 K/k とは，
k が K に集合として含まれ，
k の体構造が
K の体構造の制限として得られる構造に
一致していることをいう.

＜#代数学の参考書＞

「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988)

p30より:
『#可換環 Rが #体 の時
#R加群 の事は昔から
#ベクトル空間 とよばれてきた.
これは #ベース(底)をもつという点で
非常に取り扱いやすい
R加群(#自由加群)である.』

※本書はベクトル空間を既知として書かれている

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
90

#体論：総ての要素が2次の関係式をもつ #拡大体
https://www.youtube.com/watch?...

#拡大 #体
#代数 #代数学

#代数学の知識

#ガロア拡大 (Galois extension)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #体 の #代数拡大 E/F であって
#正規拡大 かつ
#分離拡大 であるもののこと.

・E/F がガロア拡大であるなら
(#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識

#ガロア群 (Galois Group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・代数方程式または #体 の #拡大 から
定義される #群 のこと.

・ガロア群を使って数学的対象を研究することを
#ガロア理論 という.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
69

#体論：#体 の相等2話
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#環論の知識

#標数 (characteristic)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 や #体 の特徴を表す0以上の整数.

環Rの乗法の #単位元 1を
n回の加法演算で足し合わせた結果が
0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時
nの最小値をRの標数という.

何回足し合わせても0にならない場合
標数は0.