#デジタル信号とサンプリング 27

ω軸上で #デジタル信号 を
1 #周期 切り出したもの
ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
=
ℱ[y]

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 13

#デジタル信号
y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ)
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
(1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ
=
(1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) }
↑
これは
ω軸上でF(jω)の #波形 が
間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ
ということ.

#デジタル信号とサンプリング 12

#デジタル信号
y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ]
#積 を #たたみ込み に変換
=
(1/2π){
ℱ[ f(t) ]
*
ℱ[ δ_τ (t) ]
}
=
(1/2π){
F(jω)
*
Ω δ_Ω (ω)
}
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11

#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換 を求める際
役立つ公式:

#積 と #たたみ込み の性質
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#インパルス列 のフーリエ変換
ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω)
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 8

「t＝nτ における #デジタル信号 は
f(nτ) ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ) と定義する.

そのおかげで，デジタル信号の
#フーリエ変換 を考える事が可能になる」
↑
この件で詳しい説明は
昭晃堂「ディジタル信号処理」(眞溪2004)
p69-70とp75を参照.

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#フーリエ変換の具体的な計算 29
↑
このタグの復習…

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28

ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω)
※Ω＝2π/T

「#インパルス列(#δ関数 の列)を
#フーリエ変換 すると
やはりインパルス列になる」
↑
この性質とても重要！
#信号処理 で，
#サンプリング定理 のカナメとなる部分が
この上記の性質から導出されているため.

#フーリエ変換の具体的な計算 27

δ_T(t)
=
Σ{k=-∞→∞}δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}e^(j2πnt/T)

#フーリエ変換
ℱ[δ_T(t)]
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}ℱ[e^(j2πnt/T)]①

ℱ[e^(jω_0･t)]=2πδ(ω-ω_0)より
①
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}2πδ(ω-2πn/T)
=
ΩΣ{n=-∞→∞}δ(ω-nΩ)
(Ω=2π/T)

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 19

▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を
#フーリエ変換 すると，
#複素正弦波 になる.

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)

▶複素正弦波をフーリエ変換すると，
その正弦波の #周波数 にピークを持つような
δ関数になる.

ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 17

ℱ[ δ(t－t_0) ] = e^(-jωt_0)

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[ δ(t－t_0) ] ] = ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]

重ねがけの公式より
左辺
=
2πδ(－t－t_0)
#δ関数 は #偶関数 より
=
2πδ(t＋t_0)

∴
ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0)

変形すると…?

#フーリエ変換の具体的な計算 16

#時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換
証明(2通り)

①
ℱ[δ(t-t_0)]
=∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt
=e^(-jωt_0)

②
時間シフトした関数のフーリエ変換の公式
ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0)
ℱ[δ(t)]=1
∴
ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14

▶原点中心の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω

▶定数関数をフーリエ変換すると
原点中心のデルタ関数になる.

ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω)
↑
周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ.

対称な関係ですね

#フーリエ変換の具体的な計算 13

ℱ_t [ δ(t) ] ＝ 1(ω)

両辺をω軸上で
#フーリエ変換 すると
ℱ_ω [ ℱ_t [ δ(t) ] ] ＝ ℱ_ω [ 1(ω) ]

フーリエ変換の重ねがけの公式より
左辺=2πδ(－t)=2πδ(t)

∴
ℱ_ω [ 1(ω) ] = 2πδ(t)

ωとtを入れ換えても成立するので
ℱ_t [ 1(t) ] = 2πδ(ω)

#フーリエ変換の具体的な計算 12

#フーリエ変換 を重ねがけすると
もとの関数の #時間反転 になる
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]
=
2π f(－t)
↑
この公式を使うと
ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から
ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω)
を導出できる.

#デルタ関数 と #定数関数 は
フーリエ変換の対(ペア)をなす.