#デジタル信号とサンプリング 27

ω軸上で #デジタル信号 を
1 #周期 切り出したもの
ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
=
ℱ[y]

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 25

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数 だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 15

#デジタル信号 から
#アナログ信号 を
正確に復元できるか？

つまり，y＝f(t) に
#時間周期 τ の #デルタ関数列 をかけて
くし状に加工したデジタル信号
y_d ＝ f(t)・δ_τ(t)
だけがある時
y_dから元のアナログ信号 f(t) の情報を
正確に復元できるか？

#デジタル信号とサンプリング 13

#デジタル信号
y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ)
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
(1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ
=
(1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) }
↑
これは
ω軸上でF(jω)の #波形 が
間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ
ということ.

#デジタル信号とサンプリング 12

#デジタル信号
y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ]
#積 を #たたみ込み に変換
=
(1/2π){
ℱ[ f(t) ]
*
ℱ[ δ_τ (t) ]
}
=
(1/2π){
F(jω)
*
Ω δ_Ω (ω)
}
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11

#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換 を求める際
役立つ公式:

#積 と #たたみ込み の性質
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#インパルス列 のフーリエ変換
ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω)
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 8

「t＝nτ における #デジタル信号 は
f(nτ) ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ) と定義する.

そのおかげで，デジタル信号の
#フーリエ変換 を考える事が可能になる」
↑
この件で詳しい説明は
昭晃堂「ディジタル信号処理」(眞溪2004)
p69-70とp75を参照.

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#デジタル信号とサンプリング 6

y_d
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)

#デジタル信号 の定義を見て
気付くことは…？

時刻 t=nτ における
「#アナログ信号 の値」は
f(nτ)
なのだが

時刻 t=nτ におけるデジタル信号を
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
と定義するのである！

#デジタル信号とサンプリング 5

#デジタル信号 の定義は
「#アナログ信号 に
#デルタ関数 列をかけたもの」なので…
y_d
=
f(t)･{ Σ{k=－∞→∞} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)
↑
こういう方法でデジタル信号を表す式を
「#サンプル値関数」などと呼ぶことも.

#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#デジタル信号とサンプリング 3

記号や用語の補足…

ここでは
y ＝ f(t) は #アナログ信号
y_d ＝ f(t)･δ_τ (t) は #デジタル信号
y_d の下添え字の「d」はデジタルの意
という記号を使っている.

δ_τ (t) は 間隔τの #インパルス列.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#デジタル信号とサンプリング 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

①#AD変換:
#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法.
なぜ #インパルス列 が必要か

②#DA変換:
デジタル信号からアナログ信号を復元する方法.
#サンプリング定理，#サンプリング周波数