#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 19

#ナイキスト周波数(Nyquist frequency)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#サンプリング周波数 の1/2の #周波数.
#アナログ信号 の #周波数帯域 が
ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2)
以下に制限されていれば
#サンプリング 時に元信号の情報は失われない.

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 15

#デジタル信号 から
#アナログ信号 を
正確に復元できるか？

つまり，y＝f(t) に
#時間周期 τ の #デルタ関数列 をかけて
くし状に加工したデジタル信号
y_d ＝ f(t)・δ_τ(t)
だけがある時
y_dから元のアナログ信号 f(t) の情報を
正確に復元できるか？

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#デジタル信号とサンプリング 6

y_d
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)

#デジタル信号 の定義を見て
気付くことは…？

時刻 t=nτ における
「#アナログ信号 の値」は
f(nτ)
なのだが

時刻 t=nτ におけるデジタル信号を
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
と定義するのである！

#デジタル信号とサンプリング 5

#デジタル信号 の定義は
「#アナログ信号 に
#デルタ関数 列をかけたもの」なので…
y_d
=
f(t)･{ Σ{k=－∞→∞} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)
↑
こういう方法でデジタル信号を表す式を
「#サンプル値関数」などと呼ぶことも.

#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#デジタル信号とサンプリング 3

記号や用語の補足…

ここでは
y ＝ f(t) は #アナログ信号
y_d ＝ f(t)･δ_τ (t) は #デジタル信号
y_d の下添え字の「d」はデジタルの意
という記号を使っている.

δ_τ (t) は 間隔τの #インパルス列.

#デジタル信号とサンプリング 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

①#AD変換:
#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法.
なぜ #インパルス列 が必要か

②#DA変換:
デジタル信号からアナログ信号を復元する方法.
#サンプリング定理，#サンプリング周波数

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 52

まず
#アナログ信号 の #フーリエ変換 を
しっかり学べば…

▶#デジタル信号 のフーリエ変換や
#z変換 もよく分かり，
#信号処理論 を習得できる.

▶アナログ信号の #ラプラス変換 もよく分かり，
#制御論 を習得できる.

なのでフーリエ変換の学習は大事！

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 99

#離散フーリエ変換(#DFT)の場合:

t軸上でf(t)の形が
#解析的 にわかる必要は無く
ω軸上でもF(ω)の形が
解析的にわかる必要は無い.

有限個の #数値 さえgetできれば
相互変換できる.

これら #デジタル信号 を #DA変換 すれば
#アナログ信号 も作れる！

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換