Grilled Cheese

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@tomkalei.mathe.social.ap.brid.gySep 11, 2026, 11:03 AM

Welcome to #mathe.social to @lukas_kuehne from Bielefeld University. 👋

@paula-projekt.bsky.socialSep 10, 2026, 3:02 PM

Viele finden #Mathe schrecklich, weil sie traumatisiert wurden. Ich bedaure das und möchte mit diesem #Essay eine Lanze fĂŒr die #Mathematik brechen, den IMO geilsten Hirnfick ever.
#mathematics #math #fractions #Bruchrechnen #trigonometry #EulerIdentity (sic)
1/2 @ #writingCommunity: QP, nix Thread

Überwiegend harmlos: Betrachtung ĂŒber BrĂŒche Man kann Bruchrechenaufgaben rein grafisch lösen. Visualisierung der Addition der BrĂŒche Âœ, 1/3, 1/6 mit Hilfe des genialen Spielzeugs https://www.matheretter.de/rechner/gfplot Drei der Linien im Bild oben stellen BrĂŒche dar; die senkrechte Linie ganz links außen ist nur ein Höhenmaß, die anderen senkrechten Linien symbolisieren WĂ€nde, die waagerechte Linie ein LĂ€ngenmaß. Die obere geneigte Linie zeigt den Bruch ein Halbes. Er lĂ€sst sich als Treppe darstellen mit Stufen, deren LĂ€nge zwei LĂ€ngeneinheiten (LE) betrĂ€gt und deren Höhe gleich einer LE ist. Man braucht noch eine Fußmatte, die die LĂ€nge 2 LE und die Höhe null LE hat. Die zĂ€hlt aber als Stufe! Ohne die Fußmatte könnte man nĂ€mlich keine Rampe ĂŒber die Treppe legen, die genau am Schnittpunkt der ganz linken Senkrechten mit der Waagrechten auskommt. Die Rampe entspricht der Linie. Die Linie setzt Höhen und LĂ€ngen miteinander in Beziehung. Jede Stelle auf der Linie, „Punkt“ genannt, gehört zu einer bestimmten Höhe und einer bestimmten LĂ€nge. Die mittlere Linie stellt den Bruch ein Drittel dar. Dessen Stufen sind drei LE lang und eine LE hoch. Die untere Linie zeigt den Bruch ein Sechstel: sechs LE lang, eine LE hoch. Gefragt wird nach der kleinstmöglichen LĂ€nge, bei der jede Treppe an ein und dieselbe Wand andocken kann; nur Treppen mit ganzen Stufen zĂ€hlen. Man sieht, dass diese LĂ€nge sechs LE betrĂ€gt. Jetzt muss man nur noch die Einzelhöhen an der Wand ablesen und addieren: Das Ergebnis ist der neue ZĂ€hler. 1/2 + 1/3 + 1/6 = Eine Stufe der LĂ€nge 6 und Höhe 1 plus zwei Stufen mit LĂ€nge 3 und Höhe 1 plus drei Stufen mit LĂ€nge 2, Höhe 1. Macht sechs im ZĂ€hler (1 + 2 + 3) und sechs im Nenner. => Âœ + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 => (3+2+1)/6 = 1 BrĂŒche setzen Zahlen oder Dinge miteinander in Beziehung. Dabei entspricht hier der ZĂ€hler, der die Zahl der StĂŒckchen zĂ€hlt, der Höhe und der Nenner, der deren GrĂ¶ĂŸe nennt, der LĂ€nge. Vergessen Sie die Pizza.Je grĂ¶ĂŸer der ZĂ€hler ist, desto grĂ¶ĂŸer wird der Bruch bei gleichbleibendem Nenner und ... [umgekehrt] Solche Beziehungen wie die zwischen dem ZĂ€hler und der GrĂ¶ĂŸe seines Bruchs heißen proportional. Man kann sie als Linien darstellen. Je grĂ¶ĂŸer aber der Nenner eines Bruchs ist, desto kleiner ist der Bruch bei gleichbleibendem ZĂ€hler und umgekehrt. Solche Beziehungen nennt man antiproportional. Addition der BrĂŒche Âœ, 1/4, 1/7, 1/14, 1/28... Hier...eine Stufe der Höhe 1 und der LĂ€nge 28, 2 Stufen der Höhe 1 und der LĂ€nge 14, vier Stufen der Höhe 1 und der LĂ€nge 7, 7 Stufen der Höhe 1 und der LĂ€nge vier und 14 Stufen der Höhe 1 und der LĂ€nge 2. Âœ + ÂŒ + 1/7 + 1/14 + 1/28 ist gleich 14/28 +7/28 + 4/28 + 2/28 +1/28. 14 Stufen der LĂ€nge 2 passen zwischen Start und Wand, aber nur 7 mit der LĂ€nge 4, 4 mit der LĂ€nge 7, zwei mit der LĂ€nge 14 und eine mit der LĂ€nge 28. Und das ist gleich (14 + 7 + 4 + 2 + 1)/28. Im ZĂ€hler stehen wieder alle Höhen, die zur senkrechten Wand „28“ gehören. Da hier alle Stufen nur eine LE hoch sind, braucht man nur die Zahl der Stufen zu zĂ€hlen, um sofort zur Gesamthöhe zu kommen, die im ZĂ€hler steht. Dass die LĂ€nge gleich 28 ist, kann man schön sehen, weil alle Treppen dort eine ganze Stufe als Abschluss haben. Sechs und 28 sind ganz besondere Zahlen. Die Summe ihrer echten Teiler entspricht ihrem Wert. Man nennt sie „perfekte“ oder „vollkommene“ Zahlen. Die nĂ€chsten beiden perfekten Zahlen sind 496 und 8128. Die fĂŒnftkleinste perfekte Zahl hat schon acht Stellen: Es ist 33550336. Vorzeichen der BrĂŒche Die Richtung entscheidet ĂŒber das Vorzeichen. VorwĂ€rts, rechts und aufwĂ€rts sind positiv konnotiert, rĂŒckwĂ€rts, links und abwĂ€rts negativ. Wenn Höhe (ZĂ€hler) und LĂ€nge (Nenner) negativ sind, ist der Bruch als Ganzes positiv, denn man befindet sich auf einer Treppe im Keller, die nach rechts oben fĂŒhrt. Wenn ZĂ€hler und Nenner positiv sind, ist auch der Bruch positiv. Die zugehörige Treppe beginnt frĂŒhestens im Erdgeschoss. Ist der ZĂ€hler negativund der Nenner positiv, muss man nach rechts gehen und nach unten. Das entspricht einer Treppe von links oben nach rechts unten, die im Erdgeschoss startet. Ist der ZĂ€hler positiv und der Nenner negativ, muss man nach links gehen und dann nach oben. Auch diese Treppe geht von links oben nach rechts unten, aber diesmal kommt sie von oben und endet im Erdgeschoss. Null durch null? Der Wert eines Bruches ist gleich null, wenn sein ZĂ€hler null ist. Das entspricht einer Fußmatte, die die Höhe null hat. Egal, wie lang sie ist, ihre Höhe bleibt gleich null: Es gilt 0/a =0, sofern a ungleich null ist. Der Wert eines Bruches ist gleich eins, wenn ZĂ€hler und Nenner gleich groß sind, weil BrĂŒche Zahlen/Dinge ins VerhĂ€ltnis setzen. Vier zu Vier verhĂ€lt sich genauso wie eins zu eins und 1000 zu 1000: a/a ist gleich eins, sofern a ungleich null ist. Der Wert eines Bruches mit gleichbleibendem ZĂ€hler wird umso grĂ¶ĂŸer, je kleiner sein Nenner ist, denn man fragt sich, wie oft der Nenner im ZĂ€hler Platz hat. Wahnsinnig kleine Nenner passen wahnsinnig oft in einen Bruch. Der Nenner darf nicht Null werden: a/0 ist nicht definierbar. Es entspricht der steilsten Treppe der Welt, die aber keine Wand ist. Der Unterschied zwischen Treppe und Wand ist unheimlich wichtig. Was ist dann 0/0? Um sich aus der AffĂ€re zu ziehen, nennt man 0/0 „nicht definiert“. Dann kommt man um Rechthaberei herum, und die drei Darstellungen von oben bleiben richtig. Eigentlich gilt Strichrechnung bei BrĂŒchen als schwieriger als Punktrechnung, aber wie wir gesehen haben, ist Strichrechnung gar nicht schwierig. Negative BrĂŒche sind Treppen von links oben nach rechts unten. Deren Höhen muss man abziehen. Man kann jeden negativen Bruch so interpretieren, dass seine Höhe negativ zĂ€hlt! Und das sollte man auch, wenn man Bruchaddition und -subtraktion zeichnerisch betreibt.... Wird fortgesetzt. Dieser Screenshot enthĂ€lt den Teil des Textes, der nicht mehr in den ALText gepasst hat. Das ist ĂŒbrigens ein schöner Trick, um lĂ€ngere Texte in einem einzigen Beitrag unterzubringen: Thread, go home. Die Multiplikation lĂ€sst sich ebenfalls zeichnerisch darstellen. a/b mal c/d mit a<b und c<d ist ein Rechteck mit der FlĂ€che bd. Diesem wird ein kleineres Rechteck einbeschrieben, dessen FlĂ€che ac ist. Jetzt muss man nur noch KĂ€stchen zĂ€hlen. Beispiel 2/3 mal 5/7. Man macht ein großes 3*7-Rechteck. Diesem beschreibt man das kleine Rechteck 2*5 ein. Man erhĂ€lt 10/21: Das kleinere Rechteck ist der neue ZĂ€hler, das grĂ¶ĂŸere der neue Nenner. ABER: Womöglich haben die beiden BrĂŒche gleiche Teiler. In dem Fall kann man kleinere Rechtecke zeichnen, die im selben VerhĂ€ltnis zueinander stehen. Beispiel 2/3 mal 5/8. Dann ist das kleinere Rechteck immer noch zehn FlĂ€cheneinheiten (KĂ€stchen) groß, aber das grĂ¶ĂŸere hat 24 KĂ€stchen. Zehn zu 24 verhĂ€lt sich aber wie 5 zu 12. Das kann man sehen, wenn man den Bruch 10/24 zeichnet. Man sieht, dass man hier zwei Stufen machen kann, deren jede fĂŒnf LE hoch ist und 12 LE lang. Wenn a grĂ¶ĂŸer ist als b und wieder c<d gilt, wird das große Rechteck eine FlĂ€che von ad statt bd haben, aber jedes KĂ€stchen von a ist nur „ein B-tel“ (entspricht 1/b) wert! Bruchdivision: Man fragt sich, wie oft der Nenner im ZĂ€hler Platz hat. 1/a passt a mal in ein Ganzes: Ein Eintel (gleich ein Ganzes) durch ein Achtel ist gleich ein Eintel mal acht Eintel! Acht Eintel sind der „Kehrwert“ eines Achtels. Bruchdivision ist also total einfach: Man nimmt mit dem Kehrwert mal, statt richtig zu dividieren! Und das kann man zeichnerisch machen wie gezeigt.
@mathicseducation.bsky.socialSep 3, 2026, 11:05 AM

1, 2, 3, 4, 5, 6 ist genauso wahrscheinlich wie jeder andere Tipp und trotzdem der schlechteste, den man abgeben kann. Tausende tippen dieselbe Reihe, im Gewinnfall wird durch alle geteilt. Gleiche Chance, ein Bruchteil des Gewinns. Gehört in jede Stochastikstunde. #Mathe #Mathedidaktik #Unterricht