#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
84

（番外編）#群論：#位数 3p^n の #群 の #可解性
https://www.youtube.com/watch?...

#可解
#代数 #代数学

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44

前ツイの解説:

「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは
aのある #べき で生成される巡回群」
を既に示してある.

ここで
「Hの #位数 mを固定すると
Hの #生成元 a^i＝a^sも
そこから一意に特定できる」
という事を言えれば，

特定の位数mの部分群Hが
一意だと示せる.

#巡回群とは 43

Q.
#位数 n の #巡回群 ‹a›と
nの約数mに対し
位数mの #部分群 が
ただ1つ存在する事を示せ

A.
位数mの任意の部分群をHとし
a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば
前ツイまでよりH=‹a^s›.
巡回群の位数の性質より
(a^s)^m＝e＝a^n
∴s＝n/m
Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 40

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnの時
a^m(m∈ℕ)の位数は?

A.
mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d
M,Nは互いに素な自然数で
m=Md
n=Ndの時
a^n=a^(Nd)=e
ここで
a^m=a^(Md)をN乗すれば
{ a^(Md) }^N
=a^(MdN)
={a^(Nd)}^M
=e
より
|a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n).
※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39

Q.
#群 G の元 a の #位数 が n で
m は n の約数とする.
このとき n/m ＝ d は整数である.
a^d の位数は?

A.
「その元を何乗すると #単位元 になるか」
という最小の値が位数である点に注意.

a^n＝e のとき
{ a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので
∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnで
mはnの約数とする.
a^mの位数は?

A.
a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち
最小のものがnであり
a^n=e.

n=md (m,dは自然数)とおくと
a^(md)=e.

ここで
md=knとなる最小の自然数kはk＝1より
(a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは
d=n/m

∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
80

#群論：有限 #位数 の #行列
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学

#巡回群とは 35

①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し
a^i=eとなる最小の自然数iを
生成元aの #位数 と呼ぶ.

②任意の #群 Gの
任意の元xは，
xを生成元とする
#巡回部分群‹x›を生み出せて，
①より‹x›は位数をもつ.
↓
任意の群Gの
任意の元xは
それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 20

Q.
N乗して1になる複素数を
z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N)
とおく.
集合
S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 }
から #巡回群 を作れ.

A.
S上の #二項演算 として
乗法を導入した #代数系 をGとおくと，
G は z(N, 1) を #生成元 とする
#位数 Nの有限巡回群.

#巡回群とは 19

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1) Gにおける -1 の #位数 は？
(2) Gにおける 1 の位数は？

A.
(1)
(-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので
ord(-1)＝2.

(2)
1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので
ord(1)＝1.

#巡回群とは 18

Q.
虚数単位 i を #生成元 として
#巡回群
G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 }
を作る.

(1)#群 G の #位数 は？
(2) i の位数は？

A.
(1)
#有限群 で要素数が4なので
|G|＝4

(2)
iはGの生成元だから
ord(i)＝|G|＝4.
またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので
やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17

Q.
次の数を #生成元 として
乗法に基づいた #巡回群 を作り
その #位数 を求めよ

(1) 虚数単位 i
(2) -1

A.

(1)
‹ i › ＝ {
i,
i^2＝-1,
i^3＝-i,
i^4＝1
}
＝{ i, -1, -i, 1 }
位数は4.

(2)
‹ -1 › ＝ {
-1,
(-1)^2＝1
}
＝{ -1, 1 }
位数は2.

#巡回群とは 15

#群 の #位数(order)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・群の位数はその濃度，すなわち，
その集合に入っている元の個数.
ord(G) や |G| で表記.

・群の元 a の位数は
a^m = e であるような最小の正の整数m.
ord(a) や |a| で表記.

#巡回群とは 14

Q.
(1) #群 G の位数
(2) #巡回群 G の #生成元 a の位数
↑
どちらも #位数 と呼ぶので
紛らわしくないか？

A.
確かに同じ用語であるが，
群 G が巡回群である場合
(1)の「群の位数」と
(2)の「元の位数」で
値が一致するため，紛らわしくはない.

#巡回群とは 13

Q.
#巡回群 G＝‹a›において
nはa^n=eをみたす最小の自然数とする.
#群 Gの #位数 がnである事を示せ.

A.
n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく.
前ツイの議論より
Sの元は全て異なる.

m≧nの時
m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと
a^m
=a^{qn+r}
=((a^n)^q)・(a^r)
=a^r ∈ S

#巡回群とは 11

Q.
前ツイの「r-s=0」がよくわからない

A.
a^0＝eより
a^m＝eを満たす整数mにはm=0がある.
しかし0という値は
#群 の #位数 や元の位数としての情報を持っていない.
だから位数nは0を除外しn＞0の範囲で探す.
そしてn＞m≧0なる範囲でのa^m＝eの解は
m＝0のみというわけ.