#フーリエ変換の具体的な計算 9

t の #指数関数 の #積分 公式:
∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at)

#複素正弦波 e^(－jωt) を
t で積分すると
その指数部分の t の係数 －jω が
分母に落ちてくる.

その結果，
複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ
ωの #sinc関数 が生まれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 8

#sinc関数 ＝ (sin ω) / ω
の分母には
「ωの1次の項」があるが…

この
「ωの1次の項」が生まれる理由は？

#矩形関数 の #フーリエ変換 を計算すると，
#信号処理 や #フーリエ解析学 において
「sinc関数が現れる理由」を
簡潔に説明できるようになる。

#フーリエ変換の具体的な計算 4

#sinc関数(シンクかんすう)
Sinc function
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

定義方法には亜種もあるが
y ＝ (sin x) / x ＝ sinc(x)
とするのが一般的.

#信号処理 において
なかなか重要な役割を果たす関数.
後で学ぶが，sinc関数のおかげで #DA変換 できる.

#フーリエ変換の具体的な計算 3

#矩形関数(くけいかんすう)
rectangular function
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

定義方法にはいろいろ流儀があり，
グラフの値が1となる範囲を
－1≦x≦1 のかわりに
－1/2＜x＜1/2 とする場合もある.

重要な性質:
#フーリエ変換 すると #sinc関数 になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 2

#矩形(くけい)関数を
rect(x) ＝
1　(－1≦x≦1)
0　(それ以外)
で定義。

#sinc(シンク)関数を
sinc(x) ＝ (sin x) / x
で定義。

この時
ℱ[ rect(t) ] ＝ 2 sinc(ω)
が成り立つ。

#矩形関数 を #フーリエ変換 すると
#sinc関数 になる！

#デジタル信号とサンプリング 33

#サンプリング周期 τ の
#デジタル信号 y_d(t) を使って
#アナログ信号 y(t) を表すと

y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0 ＝ π/τ)

めっちゃ綺麗な形になった。

この意味は
「デジタル信号に #sinc関数 を #畳みこむ と
アナログ信号に戻る！」

#デジタル信号とサンプリング 32

前ツイまでで
y(－t)
=
y_d(－t) * sinc( ω_0･t )
が得られている。

ここで
両辺の t を －t に置き換えると，
#sinc関数 は #偶関数 なので
y(t)
=
y_d(t) * sinc( ω_0･t )
となる。

#デジタル信号とサンプリング 29

rect(ω / (Ω/2))の
ω軸上 #フーリエ変換:
(※rectは-1から1まで値を持つ)

面積1の #矩形関数 のフーリエ変換は
#sinc関数 なので
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t

#縮尺 変換の公式より
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#フーリエ変換の具体的な計算 9

t の #指数関数 の #積分 公式:
∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at)

#複素正弦波 e^(－jωt) を
t で積分すると
その指数部分の t の係数 －jω が
分母に落ちてくる.

その結果，
複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ
ωの #sinc関数 が生まれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 8

#sinc関数 ＝ (sin ω) / ω
の分母には
「ωの1次の項」があるが…

この
「ωの1次の項」が生まれる理由は？

#矩形関数 の #フーリエ変換 を計算すると，
#信号処理 や #フーリエ解析学 において
「sinc関数が現れる理由」を
簡潔に説明できるようになる。

#フーリエ変換の具体的な計算 4

#sinc関数(シンクかんすう)
Sinc function
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

定義方法には亜種もあるが
y ＝ (sin x) / x ＝ sinc(x)
とするのが一般的.

#信号処理 において
なかなか重要な役割を果たす関数.
後で学ぶが，sinc関数のおかげで #DA変換 できる.

#フーリエ変換の具体的な計算 3

#矩形関数(くけいかんすう)
rectangular function
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

定義方法にはいろいろ流儀があり，
グラフの値が1となる範囲を
－1≦x≦1 のかわりに
－1/2＜x＜1/2 とする場合もある.

重要な性質:
#フーリエ変換 すると #sinc関数 になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 2

#矩形(くけい)関数を
rect(x) ＝
1　(－1≦x≦1)
0　(それ以外)
で定義。

#sinc(シンク)関数を
sinc(x) ＝ (sin x) / x
で定義。

この時
ℱ[ rect(t) ] ＝ 2 sinc(ω)
が成り立つ。

#矩形関数 を #フーリエ変換 すると
#sinc関数 になる！