#GröbnerBasis 7

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「#グレブナー基底 の応用」
https://togetter.com/li/878161
・ #可換環論(#多項式環)
・代数幾何学(多項式の零点)
・微分作用素環論(連立線形偏微分方程式)
・統計学(計算代数統計)
・暗号理論(多変数公開鍵暗号)
・パズル(数独を解く)

#GröbnerBasis 6

https://togetter.com/li/877582

幾何学的な前提条件が
s個のn変数多項式
f_1＝0
f_2＝0
…
で与えられた時

証明の結論を表す方程式
g＝0
を導くには

ある多項式{h_i}が存在し
g＝Σ f_i h_i
と表せればよい.

つまりgが
#イデアル ‹ f_1, …, f_s › の
元である事を示せばよい.

#GröbnerBasis 5

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ

「グレブナー基底と自動証明」
https://togetter.com/li/877582

#グレブナー基底 を使えば，
多変数多項式であっても
1変数多項式の時と同じように
「余り＝0 ⇔ ある多項式 g が #イデアル I の元」
という判定法が使用可能になる.

#GröbnerBasis 4

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の定義」
https://togetter.com/li/876669

1変数多項式:
余りが0⇔#イデアル の元

多変数多項式:
一般に余りが一意でないので
イデアルの元か判定不能.

余りが一意的になるようなイデアルの #基底 が
#グレブナー基底.

#GröbnerBasis 3

#グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ

記号の説明
https://togetter.com/li/876666

K[ x_1, …, x_n ] :
K係数のn変数 #多項式環.
その要素の集合 { f_1, ..., f_s } を #基底 と呼ぶ.

I :
K[ x_1, …, x_n ]の #イデアル.

基底が生成するイデアル
‹ f_1, ..., f_s ›

#GröbnerBasis 2

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の歴史」
https://togetter.com/li/877175

1965年にオーストリアのブッフベルガーが導入。
その師匠の名がグレブナー。
(同時期に広中平祐も類似概念を導入)

ブッフベルガーアルゴリズム:
#グレブナー基底 を求める手順。

#GröbnerBasis 1

グレブナー基底大好きbotさんによる
読みやすく簡潔なまとめ

「群、環、体って何？」
https://togetter.com/li/879778

#群: 足し算ができる(#逆元 として負数も考慮)
#環: かけ算もできる(商と余りも定義可)
#体: 割り算もできる(四則演算)

#代数学のbot連ツイのタグ その2

▶環論
①#環論の初歩
②#環論の知識
③#加群の知識
④#GröbnerBasis

▶体論その他，抽象代数学全般
#体論の初歩(※建設中)
#代数学の知識
#代数学の参考書

▶線形代数
#たった10ツイートでわかる線形代数

#GröbnerBasis 28

グレブナー基底大好きbotさんによる連ツイを
まとめたもの：
『グレブナー基底を使うと「複雑な分母を有理化」できる！』
https://togetter.com/li/176764...

#グレブナー基底 を使うと
1 / ( √2＋√3＋√5＋√7 )
の分母を機械的に #有理化 できる。

#GröbnerBasis 28

グレブナー基底大好きbotさんによる連ツイを
まとめたもの：
『グレブナー基底を使うと「複雑な分母を有理化」できる！』
https://togetter.com/li/176764...

#グレブナー基底 を使うと
1 / ( √2＋√3＋√5＋√7 )
の分母を機械的に #有理化 できる。

#GröbnerBasis 27

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底で嘘を見抜く」
https://togetter.com/li/904433

・「A～Dの4人のうち，嘘をついているのは誰か？」
という #論理パズル。

・論理を連立方程式で表現し，
#グレブナー基底 を使って
機械的に解くことができる。

#GröbnerBasis 26

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「ブッフベルガーアルゴリズムの証明」
https://togetter.com/li/896612

証明すべき点は2つ

①#正当性:
出力値が #グレブナー基底 である事
(帰納法を使う)

②#停止性:
無限ループせず有限回で終わる事
(ただし #計算量 は別問題)

#GröbnerBasis 25

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「ブッフベルガーアルゴリズム」
https://togetter.com/li/895861
有限個の多項式を入力すると
それらで生成される #イデアル の
#グレブナー基底 を計算して返すようなアルゴリズム.
内部的には，ループで #S多項式 を計算している.

#GröbnerBasis 27

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底で嘘を見抜く」
https://togetter.com/li/904433

・「A～Dの4人のうち，嘘をついているのは誰か？」
という #論理パズル。

・論理を連立方程式で表現し，
#グレブナー基底 を使って
機械的に解くことができる。

#GröbnerBasis 24

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「S多項式で遊ぼう」
https://togetter.com/li/895358
・ある #基底 Gが #グレブナー基底 である事を
グレブナー基底の定義から直接示すのは
すごく大変だが，
#S多項式 を使うと簡単に示せる。

#GröbnerBasis 23

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の判定法」
https://togetter.com/li/893456
・ある #基底 Gが #グレブナー基底 である事と，
その基底の #S多項式(をGで割った余り)
が0である事は同値。

#GröbnerBasis 22

#グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ
「打ち消し合いとS多項式」
https://togetter.com/li/892675
・ #S多項式 は #先頭項 を打ち消すもの.
・逆に，任意の「先頭項の打ち消し合い」は
S多項式の線形結合で書ける.

#GröbnerBasis 21

#グレブナー基底 大好きbotさんによるまとめ
「#S多項式 って？」
https://togetter.com/li/891841
・2つの多項式の #先頭項 を揃えて
新しい先頭項を作るのがS多項式。

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・「S-多項式」は，
f1 と f2 の先頭項(項順序の最も高い項)を
相殺させた式。

#GröbnerBasis 20

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
「グレブナー基底の存在性」
https://togetter.com/li/890548

#ディクソンの補題 より
任意の #単項式順序 と
任意の #イデアル に対し
#グレブナー基底 が存在.

#ヒルベルトの基底定理:
n変数 #多項式環 の任意のイデアルは #有限生成

#GröbnerBasis 19

グレブナー基底大好きbotさんによるまとめ
#ディクソンの補題
https://togetter.com/li/889789
・ #単項式イデアル: 単項式のみにより生成された #イデアル

Dickson's lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/...
・単項式イデアルは #有限生成
・ #グレブナー基底 の存在性を証明するのに重要