#非平衡系の物理学のメモ 40

前ツイまで
#散逸系 では
#クラマース・クローニッヒ解析 すれば
#共役 な #物理量 の
#計測 と算出がうまくいって便利…
という事を学びました。

それら物理量の具体的なスペクトルの種類が
ここから学ぶ
･#共鳴型
･#緩和型
です。

#非平衡系の物理学のメモ 39

ここまでで，#散逸系 を考える事の
メリットがわかってきましたが…

これらのさわりの情報を概観するだけでも
当たり前のように出てくるのが

･物質中の #電磁気学
･#フーリエ解析学，#信号処理
･#複素積分

前提知識として復習しておこう！

#非平衡系の物理学のメモ 38

#物性 上の #硬さ に相当する
物理量 M' を #計測 する必要がよく生じるが，
現実的には
「いくら #エネルギー が減ったか」という
#散逸 M'' のほうが計測しやすい。

#クラマース・クローニッヒ解析 を使えば
M'' から M' を求められる…
というわけ。

#非平衡系の物理学のメモ 37

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#クラマース・クローニッヒの関係式
を用いると，
#周波数応答関数 の #実部 か #虚部 の
一方からもう一方を
計算で求めることが可能。
↓
これが #クラマース・クローニッヒ解析。

例
固体の #反射率，#複素誘電率
#複素屈折率

#非平衡系の物理学のメモ 36

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･#クラマース・クローニッヒの関係式 は，
「#刺激 よりも前に
#応答 は起こりえない」という
#因果律 から導かれる。

･#インパルス応答 の #実数 条件より
#周波数応答関数 の
#実部 は #偶関数，
#虚部 は #奇関数 になる。

#非平衡系の物理学のメモ 35

分散(dispersion)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#線形応答理論 において
#周波数応答関数 の
#実部 の変化を #分散
#虚部 の変化を #吸収 という。
実部と虚部の間には
#クラマース・クローニッヒの関係式 が成り立つ。

分散には #緩和型 と #共鳴型 がある。

#非平衡系の物理学のメモ 34

分散とは？

#複素感受率 の実部の変化を
「#分散」と呼ぶ場合があった。

#クラマース・クローニッヒの関係式
も，#電磁波 の「分散」現象に着目し
導出された。

#光学 の分散(dispersion)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
入射光線が波長ごとに分離される現象。

#非平衡系の物理学のメモ 33

#ヒルベルト変換
(Hilbert transform)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#コーシー核 1 / πt との
#畳み込み により与えられる #作用素。

#信号処理 においてヒルベルト変換は
実数値信号 u(t) の
#解析的 表現を導く，という点で重要。

#非平衡系の物理学のメモ 32

#クラマース・クローニッヒの関係式
(Kramers–Kronig relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#線形応答 における #周波数応答関数 の
#実部 と #虚部 が，
#ヒルベルト変換 で関係づけられていることを示した式。

#非平衡系の物理学のメモ 31

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･#応答 として
#変位(#分極率 など)を考えた時，
#複素感受率 の虚部が #散逸 を表し
#実部 の変化＝#分散
#虚部 の変化＝#吸収。

･応答として
#流れ(変位の時間変化，#電気伝導率 など)
を考えた時は，
実部が散逸を表す。

#非平衡系の物理学のメモ 30

#複素感受率(#複素アドミッタンス)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#線形応答理論 において，
#振動 する #外力 に対する #応答
(＝#周波数応答関数) を
#フーリエ変換 したもの。

この #実部 と #虚部 の間に
#クラマース・クローニッヒの関係式 が成り立つ。

#非平衡系の物理学のメモ 29

#クラマース・クローニッヒの関係式
で現れる 𝒫 は #主値積分。

#コーシー の #主値
(Cauchy principal value)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#特異点 の種類ごとに定められる
#広義積分 の値のこと。

#非平衡系の物理学のメモ 28

#線形応答理論 / #クラマース・クローニッヒの関係式
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#応答関数 の #フーリエ変換 である
#複素感受率(#複素アドミッタンス)
φ(ω) ＝ φ_R (ω) ＋ i φ_Ｉ (ω)
の，
#実部 と #虚部 の間で互いに成立する関係式。

#非平衡系の物理学のメモ 27

前述の
#クラマース・クローニッヒの関係式。

・証明は
f(ω)
＝ { M'(ω) － M_∞ } － j M''(ω)
＝∫{0→∞} m'(t) e^(－jωt) dt
とおいて，
f(ω) を #複素下平面 で #周回積分 すればよい。

・式中の 𝒫 は #主値積分 を表す。

#非平衡系の物理学のメモ 26

#硬さ M'(ω) に関し
⊿M ＝ M'(0) － M_∞
を #緩和強度 と呼ぶ。
この ⊿M の #計測 は…

･#時間領域 では，
無限に時間を要するので計測困難。

･#周波数領域 では，
#散逸 を容易に積分可能なので
⊿Mへ換算できる(#総和則)。

#非平衡系の物理学のメモ 25

#クラマース・クローニッヒの関係式 の
#硬さ の側の式に現れる M_∞ とは…

系の #インパルス応答 を
m(t) ＝ (M_∞)･δ(t) ＋ m'(t)
として，
#可逆過程 と #不可逆過程 に分けたもの。

#非平衡系の物理学のメモ 24

散逸から硬さの値を求めるには
下記の
#クラマース・クローニッヒの関係式 を使う。

#硬さ
M' (ω) － M_∞
＝
(2/π) 𝒫 ∫{0→∞} { M''(ω') ω' } / (ω'^2－ω^2) dω’

#散逸
M'' (ω)
＝
－(2/π) 𝒫 ∫{0→∞} {M'(ω')－M_∞} / (ω'^2－ω^2) dω’

#非平衡系の物理学のメモ 23

#物理量 XとYが #共役 であるとは，
積 XY が
#エネルギー の #次元 になる事を指す。

#周波数応答関数
M(jω) ＝ M'(ω) － j M''(ω)
の
#実部 M' (#硬さ)と
#虚部 M'' (#散逸)の積も
エネルギーの次元になり
互いに共役な量。

#非平衡系の物理学のメモ 22

系の
#周波数応答関数 を
M(jω)
＝ M'(ω) － j M''(ω)
のように
実部と虚部に分けて書くと

･#実部 である M' は
物の「#硬さ」
(のような概念に相当する #物理量)

･#虚部 である M'' は
#エネルギー の #散逸

…を表す。
M' と M'' は #共役。

#非平衡系の物理学のメモ 21

ある系で
#インパルス刺激 に対する #応答 が
m(t) だとする。

この系に #正弦波刺激
X(t)＝Re( X̂･e^(jωt) )
を加えた時，
#周波数応答関数(#伝達関数)は
Ŷ / X̂
＝∫{0→∞} m(t) e^(－jωt) dt
＝M(jω)
つまり
#パルス応答関数 の #片側フーリエ変換。