#デジタル信号の周波数解析 100
↑
このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 98

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)の場合:
f(t)の #波形 が
「#数式 として得られていなくても」
利用可能だが，かわりに
t軸上で無限個のサンプル値が必要(無理).
さらに
ω軸上で無限区間の #積分 が必要(実用不可).

一方
#DFT なら有限個の数値だけで済む.

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#デジタル信号の周波数解析 93

▶(複素)#フーリエ級数展開
t連続
ω離散

▶#フーリエ変換
t連続
ω連続

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t離散
ω連続

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t離散
ω離散

「t領域とω領域の両方で #離散的」はDFTだけ.
#解析的 な関数形が不要.
数値のみで処理可能!

#デジタル信号の周波数解析 92

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的
ω:離散 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t :離散 無限範囲
ω:連続 周期的

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t :離散 周期的
ω:離散 周期的

#デジタル信号の周波数解析 64

ℱ^{-1}(=#無限長 #区間 の #積分∫)
を
#有限長 区間の総和Σで置き換えたい.
↓
方針を思い出そう.
#ℱ ではダメだ！

▶#フーリエ変換
t : 連続● 無限範囲●
ω:連続● 無限範囲●

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散〇 無限範囲●
ω:連続● 有限長〇

#デジタル信号の周波数解析 41

tもωも両方
「#離散＆#有限長」な変換を作るには:

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t : 離散〇 無限範囲●
ω: 連続● 周期的〇
↑
これをもとに作ってみよう.

t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化
ω領域で #サンプリング を施し #離散化
いけるのでは？

#デジタル信号の周波数解析 39

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的〇
ω:離散〇 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換
t :離散〇 無限範囲
ω:連続 周期的〇

tもωも両方
「#離散(Σ) かつ 周期的(#有限長)」な #変換 が欲しい！

#デジタル信号の周波数解析 38

▶(複素)#フーリエ級数展開
t : 連続 周期的〇
ω: 離散〇 無限範囲

▶#フーリエ変換
t : 連続 無限範囲
ω: 連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散〇 無限範囲
ω: 連続 周期的〇

周期的〇 …範囲が #有限長
#離散〇 …∫の代わりにΣで済む

#デジタル信号の周波数解析 37

▶(複素)#フーリエ級数展開
t : 連続● 周期的
ω: 離散 無限範囲●

▶#フーリエ変換
t : 連続● 無限範囲●
ω: 連続● 無限範囲●

▶#離散時間フーリエ変換
t : 離散 無限範囲●
ω: 連続● 周期的

#コンピュータ は
無限範囲● や
連続● を扱えない！

#デジタル信号の周波数解析 35

▶#離散時間フーリエ変換 は
「#時間 変数 t のみがとびとび」

▶#複素フーリエ級数展開 は
「#周波数 変数 ω のみがとびとび」

↑
t と ω の両方を
とびとび(#離散)にできないか？

そうすれば #コンピュータ で
#数値計算 しやすくなる！

#デジタル信号の周波数解析 34

▶#離散時間フーリエ変換:
#時間 変数 t のみが
とびとびの値(k・τ)

DTFT[ f(t) ]
=
ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) ]

▶#複素フーリエ級数展開:
#周波数 変数 ω のみが
とびとびの値(k・2π/T)

f(t)
=
Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 33

#離散時間フーリエ変換 は
「#時間 変数tのみを
とびとびの値(k・τ)に限定」する操作.

似た概念で，
「#周波数 変数ωのみを
とびとびの値(k・2π/T)に限定」する操作
もある.
#複素フーリエ級数展開 である.

f(t)=Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 32

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)について
整理すると…

①DTFT:
#インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作

②DTFT^{-1}:
何をどう復元するか，に応じ
#積分 区間のバリエーションが3通り

③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され
①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 29

#信号処理 の本に
#離散時間フーリエ変換(#DTFT)が
載ってない事が多いのはなぜ？

理由は2つ

①DTFTの中身は ℱ と ℱ^{-1} だから
特記する必要ないやろ…と省く.

②#インパルス列 で相互変換したいのは
t⇔ωじゃなくて
#AD変換＆#DA変換やろ…と省く.

#デジタル信号の周波数解析 27

#離散時間フーリエ変換
(Discrete-time Fourier transform，#DTFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･無限区間の #積分 として #逆変換 すると
通常の #フーリエ変換 の逆変換となり
#インパルス(#δ列)も復元.

・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 18

▶#フーリエ変換
▶#逆フーリエ変換
▶#離散時間フーリエ変換
↑
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
↑
積分区間が #有限長！

有限長で何が嬉しいかと言うと
コンピューターで計算しやすい形に変形できる
という利点がある.(後述)

#デジタル信号の周波数解析 17

▶#フーリエ変換
#FT＝ℱ
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆フーリエ変換
FT^{-1}＝ ℱ^{-1}
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#離散時間フーリエ変換
#DTFT
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
DTFT^{-1}
#積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号の周波数解析 4

#アナログ信号 f(t) に対し
「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから
#フーリエ変換」するのが
#離散時間フーリエ変換.

DTFT[ f(t) ]
＝
ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ]

#デジタル信号(#サンプル値関数)の
#周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号の周波数解析 3

「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)…
↑
実は既に
#デジタル信号とサンプリング
のタグの中で多用してある.

#デルタ列 のかかった #アナログ信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
を
普通にt軸上で #フーリエ変換 した
ℱ[ y_d ] が
f(t) のDTFT.