#巡回群とは 64

x, y ∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶#巡回部分群 の性質より
①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群
②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群

▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より
③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 63

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
について学ぶと
「複数の元」と #部分群
の関係について見方が変わる。

「#群 Gがある2元x,yを要素に持つ」
という事は，何を意味する?

A.
「Gは，部分集合M={x,y}が #生成系 となる
群 ‹M› を部分群に持つ」という事を意味する.

#巡回群とは 61

Q.
群の #部分集合が生成系となる部分群
って
スゴく便利なのでは？

A.
#群 Gの複数の元の組み合わせで
さまざまな部分集合Mを作れるが…

そのどのMからも
「Mが #生成系 となる群」をつくれて
その群は必ずGの #部分群 になる.

Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 56

#群 の部分集合によって #生成 される #部分群 について
https://mathlandscape.com/grou...

呼び名が長い.
群の #部分集合が生成する部分群
群の #部分集合が生成系となる部分群

#べき積 を作る際，
部分集合から元を取り出す操作において
重複があってもよい
というのがポイント.

#巡回群とは 55

①
#群 Gの1元aが #生成 する
Gの #巡回部分群 ‹a›

②
群Gの部分集合Mが生成する
Gの #部分群 ‹M› は，
・「Mが生成するGの部分群」
・「Mが #生成系 となるGの部分群」
↑
②に名前を付けると…
#部分集合が生成する部分群
#部分集合が生成系となる部分群
長っ！